二、最优控制中的变分法 （1）泛函 如果变量 J 对于某一类函数{x（t）}中的每一个函数 x（t），都有一个确定的值与之对 应，那么就称变量 J 为依赖于函数 x（t）的泛函，记为：J[x（t）]。
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（2）变分和变分法
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t
tx t dt
试求：
（1）δJ 的表达式；
（2）当 x（t）＝t2，δx＝0.1t 和 δx＝0.2t 时的变分 δJ 的值。
解：（1）由泛函变分规则可知：
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（2）由（1）可知，δx＝0.1t 时：
δx＝0.2t 时：
10-6 试求下列性能指标的变分 δJ。
J tf t2 x2 x&2 dt t0
解：由泛函变分规则，求得：
10-7 已知性能指标为： 求 J 在约束条件 t2＋x12＝R2 和边界条件 x1（0）＝－R，x2（0）＝0，x1（R）＝0，x2 （R）＝π 下的极值。 解：构造广义泛函为：
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第 10 章 动态系统的最优控制方法
10.1 复习笔记
考研初试一般不考查本章内容，下文为最优控制问题的基础理论部分。
一、最优控制的基本概念 （1）最优控制 概念：在系统状态方程和约束条件给定的情况下，寻找最优控制律，使衡量系统的某一 性能指标达到最优（最小或最大）。 （2）最优控制问题 任何一个最优控制问题均应包含四方面内容：①系统数学模型；②边界条件与目标集； ③容许控制；④性能指标。 （3）最优控制的研究方法 包括：解析法；数值计算法；梯度型法。
x2*（t）＝c1t2/2－c2t＋c3＝5t2/9－2t＋1
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•
10-9 已知系统状态方程及初始条件为：x＝u，x（0）＝1。试确定最优控制使下列性
能指标取极小值
J = 1 x2 u2 e2tdt 0
10-4 求性能指标
在边界条件 x1（0）＝x2（0）＝0，x1（π/2）＝x2（π/2）＝1 下的极值曲线。
•
•
解：由题意可知 L＝x12＋x22＋2x1x2，由欧拉方程
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解得：
x1（t）＝c1et＋c2e－t＋c3cost＋c4sint

＝x2（0）＝1，x1（3）＝x2（3）＝0。试求使性能指标 J 3 1u2 t dt 取极小值的最
02
优控制 u*（t）以及最优轨线 x*（t）。 解：采用变分法进行求解，令 H＝u2/2＋λ1x2＋λ2u，则协态方程：
λ1＝c1
λ2＝－c1t＋c2
极值条件∂H/∂u＝u＋λ2＝0，u＝－λ2＝c1t－c2，且
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令 由欧拉方程得：
再由约束条件 t2＋x12＝R2 可解得：
x2＝c1arcsin（t/R）＋c2
由边界条件，得 c1＝2，c2＝0，则：
x2
t
2
arcsin
t R
x1 t R2 t2
故
J
R 0
1 x&12 x&22 dt
•
解：令 L＝x2＋1，由欧拉方程
••
有x＝0，解上式得 x（t）＝c1t＋c2，且由边界条件，得 c1＝c2＝1，故所求曲线为 x* （t）＝t＋1。
10-2 设 x＝x（t），0≤t≤1，求从 x（0）＝0 到 x（1）＝1 间的最短曲线。 解：在直角坐标系内弧线元的长度表示为：
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2H u 2
1 0
状态方程：
•
x2＝u＝c1t－c2，x2＝c1t2/2－c2t＋c3
•
x1＝x2，x1＝c1t3/6－c2t2/2＋c3t＋c4
由边界条件，得：
c1＝10/9，c2＝2，c3＝1，c4＝1
将上述参数代入得：
最优控制
u*（t）＝c1t－c2＝10t/9－2
最优轨线
x1*（t）＝c1t3/6－c2t2/2＋c3t＋c4＝5t3/27－t2＋t＋1
x2（t）＝c1et＋c2e－t－c3cost－c4sint
且由边界条件，得： c1
π 1 π ， c2
1
π
π ，c3＝0，c4＝0
e2 e 2
e 2 e2
故所求曲线为：
x1 t x2 t
et et
π
π
0.217
et et
e2 e 2
10-5 已知性能指标函数为：
J
1 0
x
2
R 0
1
t2 R2 t2
4 R2 t2
dt
R
0
R2 4 R2 t2 dt
R2 4 R 0
1
π
R2 t2 dt 2
R2 4
•
•
10-8 已知系统的状态方程为：x1（t）＝x2（t），x2（t）＝u（t）；边界条件为 x1（0）
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设性能指标为：
令 L 1 x2 ，由欧拉方程
解得：x（t）＝ct＋d，且由边界条件，得 c＝1，d＝0，故所求曲线为：x*（t）＝t。
10-3 求性能指标
在边界条件 x（0）＝0，x（1）是自由情况下的极值曲线。
•
解：，由边界条件与横截条件，得 c1＝c2＝0，故所求极值曲线为： x*（t）＝0。
求泛函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分法。
三、极小值原理及其应用 1．J 取极小值的必要条件 正则方程；边界条件；横截条件；最优终端时刻条件；沿最优轨迹线哈密顿函数变化律。
2．极小值原理应用 最小时间控制、最小燃料控制、最小能量控制等。
10.2 课后习题详解
10-1 求通过 x（0）＝1，x（1）＝2，使下列性能指标为极值的曲线 x*（t）
解：采用变分法进行求解，令
H＝（x2＋u2）e2t＋λu
协态方程
•
λ＝－∂H/∂x＝－2xe2t
极值条件
H 2ue2t 0 u
2u u 2
2e2t