高阶滑模控制（读书笔记）
王蒙
1、传统滑模控制有如下缺陷：
（1）抖振问题：主要是由未建模的串联动态引起，同时切换装置的非理想性也是一个重要原因；
（2）相对阶的限制：传统滑模控制只有在系统关于滑模变量s 的相对阶是 1时才能应用，也就是说，控制量u 必须显式出现在s 中，这样就限制了滑模面的设计。
（3）控制精度问题：在实际的、采样实现的传统滑模控制算法中，滑动误差正比于采样时间τ，也就是说，有限时间到达的传统滑模在具有零阶保持器的离散控制下，系统的状态保持在滑动模态上的精度是采样时间的一阶无穷小，即()O τ； 2、高阶滑模控制理论
在传统滑模控制中，不连续的控制量显式地出现在滑模变量的一阶导数s 中，即s 是不连续的。
由于未建模动态和非理想的切换特性，传统滑模存在抖振，它在实际应用中是有害的。
连续近似化方法（如引入边界层）能抑制抖振，然而失去了不变性这个显著优点。
Levant 提出了高阶滑模的概念，高阶滑模保持了传统滑模的优点（如不变性），抑制了抖振，消除了相对阶的限制和提高了控制精度。
滑动模态的不变性：系统一旦进入滑动模态，对满足匹配条件的不确定性及干扰具有不变性。
3、高阶滑模的定义
（1）滑动阶r 是指滑模变量s 的连续全导数（包含零阶）在滑模面 s =0上为 0 的数目。
滑动阶刻画了系统被约束在滑模面 s = 0上的运动动态平滑度。
根据上述定义可知：传统滑模的滑动阶为 1，因为在滑模面上 s = 0，而s 则是不连续的，因此传统滑模又被称为一阶滑模。
（2）关于滑模面 s (t , x ) = 0的 r 阶滑动集由下述等式描述(1)0r s s s s -=====
上式构成了动态系统状态的 r 维约束条件。
（3）1996 年，Levant 和 Firdman 给出了高阶滑模的精确定义 r 阶滑动集(1)0r s s s s -===
==是非空，且假设它是 Filippov 意义下局部积分集（也
就是说，它由不连续动态系统的 Filippov 轨迹组成），那么，满足(1)0
r s s s s -=====的相关运动称为关于滑模面 s (t , x ) = 0的“r 阶滑模”。
（4）当且仅当系统轨迹位于状态空间中 s = 0和0s =的交界处时，系统具有二阶滑模动态，如图所示。
（5）在实现高阶滑模控制时，所面临的一个主要问题就是所需的信息增加了。
一般来说，滑模面 s = 0上的r 阶滑模控制器的设计，需要用到 (1),,,,r s s s s -的信息（已知仅有二
阶滑模 Super-Twisting 算法只需要s 的信息）。
理论上，(1),,,r s s s -的值可以通过有限
时间收敛的精确鲁棒微分器获取。
4、二阶滑模控制
（1）滑模控制在解决不确定高阶非线性动态系统时是一种非常有效的方法, 表现在对系统不确定非线性-系统建模误差与外部干扰的强鲁棒性和算法设计简单. 然而, 滑模控制存在的“抖振”现象。
二阶滑模控制使得控制量在时间上是本质连续的, 这样能有效地减小系统抖振, 又不以牺牲控制器的鲁棒性为代价。
（2）二阶滑模是指，二阶滑动集0s s ==非空，且假设它是Filippov 意义下的局部积分集，那么，满足式0s s ==的相关运动称为关于滑模面(,)0s t x =的二阶滑模。
考虑下列形式的单输入动态系统：
(,)(,),(,)x a t x b t x u s s t x =+= （14）
式中，n
x R ∈为系统状态量，u R ∈为控制输入， (,)a t x 和(,)b t x 为光滑的未知向量
场，令 (,)0s t x =为所定义的滑模面，控制目标使系统的状态在有限时间内收敛到滑模流形滑模流形(,)(,)0s t x s t x ==上。
（3）通过引入虚拟变量1n x t +=对系统（2.22）进行扩展，记(,1),(,0)T T T T
e e a a b b ==,
1(,)T T e n x x x +=，则系统扩展为()(),()e e e e e e x a x b x u s s x =+=
（4）依据相对阶的定义，对滑模变量s 考虑以下两种不同情形：
相对阶 r = 1，即0s
u ∂≠∂ 相对阶 r = 2，即0,0s s
u u
∂∂=≠∂∂
（5）相对阶 r = 1时
可以采用传统滑模（一阶滑模）控制的方法来解决的问题。
然而，若采用二阶滑模
控制则可以抑制抖振，此时，将控制输入u 的导数u 被看作新的控制变量。
设计不连续的控制u 使得滑模变量s 趋于零，并保持二阶滑动模态，即 s = s= 0，而控制输入u 是通过对u 的积分得到的，故是连续的，从而抑制了系统的抖振。
滑模变量s 的一阶导数为(()())e e e e e e a b e
s
s a x b x u L s L su x ∂=
+=+∂ 其中()e a e e e
s
L s a x x ∂=
∂称为s 关于e a 或沿e a 的 Lie 导数。
滑模变量s 的二阶导数为
222()
(()())e e a e e e e b e e
e
a b e e e e e a b b a b L s L su s
s a x b x u x u L s L L su L L su L su L su ∂+∂=
++
∂∂=++++
简化为(,,)(,)()s t x u t x u t ϕγ=+
222
0|(,,)a e e e e b
e
e
u a b b a s t x u L s L L su L L su L su ϕ===+++ (,)0e b s t x L s u
γ∂
==≠∂ 控制输入u 看作影响漂移项ϕ的未知扰动，控制输入的导数u 作为需设计的新控制量。
（6）相对阶 r = 2时
控制输入u 不直接影响s 的动态特性，但直接影响s 的动态特性，即
(,,)(,)()s t x u t x u t ϕγ=+
其中
(,)0e e b a s t x L L s u
γ∂
==≠∂，这就意味着滑模变量 s 的关于控制输入u 的相对阶是 2。
在这种情况下，控制输出u 是不连续的。
（7）相对阶为1和相对阶为2可以统一起来，看作是二阶不确定的仿射非线性系统，当相对阶为1时，相关的控制信号是实际控制输入的导数u ，当相对阶为2时，控制信号是实 际的控制输入u 。
因此，二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性系统的有限时间镇定问题。
令12()(),()()y t s t y t s t ==，二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性系统的有限时间镇定问题
1221()()()(,)(,)()(,)()y t y t y t t x t x v t s t x y t ϕγ=⎧
⎪
=+⎨⎪=⎩
其中，(,)(,)t x t x ϕγ、和()v t ，在相对阶为1和相对阶为2具有不同的意义和结构。
在现有的二阶滑模控制方法中，均对不确定性做出了全局有界的假设，即
,0m M C K K ϕγ≤<≤≤
其中，C 、m K 和M K 均为正常数。
5、几种常见的二阶滑模控制算法 Twisting 算法
（1）Twisting 算法是最早提出的二阶滑模控制算法，形式如下
12sgn()sgn()v r s r s =-- （17）
（2）其有限时间收敛的充分条件是121212()(),()m M m r r K C r r K C r r K C +->-+-> 若考虑控制受限的情形，则需增加以下条件
12max r r U +≤
两式联立，可以求解出1r 和2r 的取值范围。
（3）该算法的特点是：在SOS 相平面上，系统轨迹围绕着原点旋转，如图所示。
同时，系统的轨迹能在有限时间内，经过无限次的环绕收敛到原点。
具体地说，就是系统的相轨迹与坐标轴相交的值的绝对值，随着旋转的次数以等比数列形式减小。
此控制律的设计需要知道S 的符号。
图Twisting 算法的相轨迹
Super-Twisting 算法
(1)Super-Twisting 算法形式如下
1
21
1sgn()sgn()
u s s u u s λα⎧⎪=-+⎨
=-⎪⎩ (2)其有限时间收敛的充分条件是:
222(),0a e e e e b e e e
a b b a m b M L s L L s L L s u L su C K L s K +++≤<≤≤ 2,2M m m
K C C
K K ααλ+>
> (3)该算法的特点是：它仅仅需要滑模变量 s 的信息，不需要s 信息；它是一种系统关于s 的相对阶为 1 时，可以直接应用的二阶滑模算法，不需要引入新的控制量。
Super-Twisting 算法的相轨迹如图所示。
图Super-Twisting 算法的相轨迹
参考文献
[1] 李鹏.传统和高阶滑模控制研究及其应用.国防科技大学博士学位论文。