三阶积分终端滑模控制方法
1.1三阶积分终端滑模
1.1.1压电驱动纳米定位平台运动控制问题描述
1.1.1.1纳米定位系统动态建模
考虑磁滞非线性时，压电驱动纳米定位系统的完整动态模型为
(0-1)
其中为时间变量。

分别为质量、阻尼系数、刚度和纳米定位平台压电系数，分别为输入电压、纳米定位平台的输出位移、系统的辞职效应、模型不确定性和扰动项。

以上动态方程可进一步简化描述如下
(0-2)
其中。

本文不直接对磁滞效应进行建模，而是将磁滞非线性影响和其它不确定性统一视为集中扰动，以下省略变量。

1.1.1.2扰动估计
基于动态模型(0-2)，扰动项可描述如下：
(0-3)
但是以上扰动估计方法由于algebraic loop不可实现。

以下根据文献[]提出的摄动估计技术进行扰动估计，即
(0-4)
其中为采样时间间隔。

那么，式(0-2)所示的动态模型变为
(0-5)
表示扰动估计误差。

为助于控制器设计，给出以下合理假设：
假设1：。

1.1.1.3状态估计
由式(0-4)可知，扰动估计器的实现需要计算位置的高阶微分项。

但
是，在实际应用中只有位置可测。

因此，为实现扰动估计必须设计位置的高阶微分项的估计器或观测器，如Luenberger观测器、高增益观测器和滑模观测器等。

然而传统的观测器只能实现状态估计的渐进收敛，而Levant提出的鲁棒精确差分技术（Robust Exact Differentiator, RED）可实现状态估计的有限时间收敛。

特别地，k阶RED可实现k次实时的鲁棒差分，其中2阶RED可设计如下：
(0-6)
其中，且。

差分器的输出分别为
:
(0-7) 定义状态估计误差为
(0-8)
那么，式(0-6)可描述为
(0-9)
其中可在有限时间内实现。

式(0-9)所示的误差动态推导错误，已由文献[]指出，正确推导过程如下：由式(0-6)-(0-8)可知，
(0-10)
，因此式(0-9)的正确表达为
(0-11)
利用以上微分器，估计的扰动变为
(0-12)
其中
(0-13)
(0-14)
由式(0-11)。

此时，如果利用式(0-13)进行扰动估计，。

结合假设1可知，扰动估计误差的变化率有界，。