=
σ
2 d
−
2
−1
Rp
T
p+
−1
Rp
T
⋅
R
⋅
−1
R
p
第第 223页 3页
( ) ( ) εmin
=
σ
2 d
−
2
−1
Rp
T
p+
−1
Rp
T
⋅ R ⋅ R−1 p
( ) ∵ R是对称阵，其逆 R −1也是对称阵，∴
R −1
T
= R −1
所以
HANεGmin Z= σHd2O− 2Up T DIANZI R −1 p + p T R −1 ⋅UR ⋅NR −I1Vp ERSITY
中i = 0,1, , N − 1。
s
例如：N=2
e = s − sˆ
e最小，仅当e与sˆ正交时
e ⊥ xi → e ⊥ sˆ
x0 h0 x0
sˆ
满足正交原理 满足MMSE条件
h1 x1
x1
第第
3. Wiener-Hopf 方程
111页 1页
∑ ∑ ⎡⎛ N −1
⎞⎤
⎡ N −1
⎤
E
⎢⎜ ⎢⎣⎝
j=0
第3章 维纳滤波器
HANG正Z交H性O原U理与DWIiAeNneZr-IHoUpfN方I程VERSITY
Wiener-Hopf方程求解 误差性能曲面的几何性质
第第 22页 页
x(n) = s(n) + v(n)
h(n)
y(n) = sˆ(n)
最佳滤波器
维纳滤波器是最佳滤波器，需要已知信号和噪声的统计
2 d
+
T
w
(n)
E
⎡ ⎢⎣
x
N
(n)
T
x N
(n)⎤⎥⎦
w(n)
HAεN(nG)是Zw的H函O数U,即εD(nI)A= εN(wZ) I UNIVERSITY
令互相关函数组成的N维向量记为 p,则
⎡ E[d(n)x(n)] ⎤ ⎡ Rxd (0) ⎤
⎢
p
=
E
⎡⎣d (n) x
N
(n)⎤⎦
=
⎢ ⎢
E[d(n)x(n − 1)]
∂w
即
∂ε (w)
∂w
=
⎡ ⎢ ⎣
∂ε (w)，∂ε (w)
∂w0 ∂w1
,
,
∂ε (w) ⎤T
∂wN
−1
⎥ ⎦
=
2Rw
−
2p
=
0
HAN满足G上Z式H的O权向U量为D最I优A权N向Z量I，U记为NwIV* ，E则RSITY
*
Rw
=
p
*
w
=
−1
R
p
维纳解（最优解）
此时，最小均方误差为
( ) ( ) εmin
滤波
n
HANsˆ (nG) =Z∑HhO(nU− i) xD(i)IANZI UNIVERSITY i=0 预测 n−1 sˆ (n) = ∑ h(n − i ) x (i ) i=n−1− p
这里我们只考虑滤波或预测问题，相应的维纳滤波称为最佳 线性滤波或预测。
第第 55页 页
n
sˆ(n) = ∑ h(i)x(n − i), n = 0, 1, i=0
⎥⎢
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
Rxd (1)
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
E[d
(n)
x(n
−
N
+
1)]⎥⎦
⎢ ⎣
Rxd
(
N
−
1)⎥⎦
E
⎡ ⎢⎣
x
N
T
(n)x N
(n)⎥⎦⎤
=
⎡ E[x(n)x(n)]
E[x(n)x(n−1)]
⎢ ⎢
E[x(n−1)x(n)]
E[x(n−1)x(n−1)]
⎢
⎢⎣E[x(n− N +1)x(n)] E[x(n− N +1)x(n−1)]
110页 0页
正交性原理
要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi }的选பைடு நூலகம்应使估
计误差e与所有的观测值xi正交,其中i = 0,1, , N − 1。
推论
要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi }的选择应使
HA估N计G误Z差He与O估U计值D（sˆ I观A测N值Z的I 线U性N组I合V）E正R交S，I其TY
, N −1
⎡ sˆ(0) ⎤ ⎡ h(0)
0
0
HANGZHOU ⎢ ⎢ ⎢
sˆ(1) sˆ(2)
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢
h(1) h(2)
h(0D) IAN0 ZI
h(1) h(0)
⎢
⎥⎢
⎢⎢⎣sˆ(N −1)⎥⎥⎦
⎢
⎢⎣ h(N −1)
h(N − 2)
h(N − 3)
0 ⎤⎡ x(0) ⎤
UNIVE0 R⎥⎥S⎢⎢ Ix(T1) Y⎥⎥
hj x j
−
s⎟ ⎠
xi
⎥ ⎥⎦
=
E
⎢ ⎣
j=0
hj xi x j
−
sxi ⎥ ⎦
=
0
N −1
∑ 即
hj E[ xi x j ] − E[sxi ] = 0
HA令NEG[xZijx=H0j ] =ORUij , E[DsxiI]A=NRsxZi，I则UNIVERSITY
N −1
∑ hj Rij = Rsxi，i = 0，1， ，N − 1
HAN特性G；ZHOU DIANZI UNIVERSITY 维纳滤波器的最优准则是最小均方误差准则（MMSE）；
维纳滤波器的参数是固定的，而自适应滤波器的参数是 时变的，故维纳滤波器不是自适应滤波器；
第第 33页 页
x(n) 观察/测量数据
s(n) 真实信号
v(n) 加性噪声/干扰
HAsNˆ(nG) =Zx(Hn)∗Oh(Un) = D∑Ii hA(iN) x(Zn−I i)U线N性I估V计E问R题SITY
R0,0 R1,0
DR0I,1ANZI
R1,0
RRU10,,NN−−N11 I⎞⎟⎟VERSITY
⎟
⎜⎜⎝ RN −1,0 RN −1,1
RN −1,N −1 ⎟⎟⎠
hopt = ⎡⎣h0 h1
hN −1 ⎤⎦T
Rsx = ⎡⎣ Rsx0 Rsx1
T
R ⎤⎦ sxN−1
第第 113页 3页
二. Wiener-Hopf 方程求解
因自适应滤波系数可调，是时刻n的函数，故N时刻的 权向量为
w(n) = ⎡⎣w0 (n)，w1(n)， wN −1(n)⎤⎦ T
第第
n时刻及以前的数据组成的向量称信号向量，表示为 118页 8页
x N (n) = [ x(n)，x(n − 1)， x(n − N + 1)] T
n时刻期望得到的输出称期望响应，记为d(n)；
误差性能函数 ε (n) = E[e2(n)]
N −1
HAN∵Gdˆ(nZ) H= ∑iO=0 wUi (n
)
x(n
−
i
)
=
T
w
DIANZI
(
nU)xNN (nI)VERSITY
{ } ∴ε (n) = E[e2(n)] = E [d(n) − dˆ(n)]2
{ } = E
[d
(
n)
−
T
w
(n)
x
(n)]2
j=0
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
第第
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
112页 2页
R xx h = Rsx
自相关矩阵
s(n)与x(n)的互相关
故最佳单位脉冲响应
hopt
=
−1
R xx Rsx
其中
HANGZHOU ⎛
⎜
Rxx
=
⎜ ⎜
第第
116页 6页
3 original signal Wiener filter denoised sinusoid noisy signal
2
1
HAN0 GZHOU DIANZI UNIVERSITY
Amplitude
-1
-2
-3
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
ε
若多元，则ε是N+1维空间 上的超椭圆抛物面。
HANGZHOU DIANσZd2 I
ε (w)最小为碗底处的值，
w1*
UNIVERSITY ε min
对应的权向量即为实现 最优滤波的权系数。 w1
w0*
w0
记为w* = ⎡⎣w0* , w1* w*N −1 ⎤⎦ T
第第 222页 2页
若使ε (w)最小，须 ∂ε (w) = 0
⎢
⎥
⎢ ⎣
Rx
(
N
− 1)
Rx ( N − 2)
Rx (0)
⎥ ⎦
记E
⎡ ⎢⎣
x
N
T
(n)x N
(n)⎤⎥⎦
=
R,则
ε (w)
=
σ
2 d
−
T
2w
p
+
T
w
Rw
误差性能函数
第第
若权向量w是二维的,即w = ⎡⎣w0 (n), w1(n)⎤⎦ T