Wiener滤波概述Wiener滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR结构的Wiener滤波器的讨论。

由信号当前值与它的各阶延迟)}1(,),1(),({+--MnxnxnxΛ，估计一个期望信号)(nd，输入信号)(nx是宽平稳的，)(nx和)(nd是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小。

在本章中,不特别说明, 假设信号是零均值.Wiener滤波器的几个实际应用实例如下：①通信的信道均衡器。

图1. 信道均衡器的结构示意②系统辨识：图2. 线性系统辨识的结构③一般结构:图3. Wiener 滤波器的一般结构Wiener 滤波器的目的是求最优滤波器系数o w ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==22)(ˆ)(]|)([|)(n d n d E n e E n J 最小。

§3.1 从估计理论观点导出Wiener 滤波FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示.图4. 横向Wiener 滤波器FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i Λ使估计误差均方值最小，均方误差定义为：这里估计)(ˆn d 写为：∑-=-=10)()(ˆM k k k n x w n d除了现在是波形估计外，与线性Bayesian 估计一一对应。

xx R R （零均值假设）这里)])()([)((n d k n x E k r xd -=-, Wiener 滤波与线性Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数为0w ，由线性Bayesian 估计得到Wiener 滤波器系数对应式：上式后一个方程称为Wiener-Hopf 方程,或 xd x xx r R R R 101--=⇒=w θa结论：1) Wiener 滤波器是线性FIR 滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。

2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件）3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。

导出最优滤波器的正交原理, 并从正交原理出发重新导出一般的Wiener 滤波器方程推导适应于IIR 和FIR 的一般结论，然后分别讨论FIR 和IIR 。

讨论一般的复数形式。

·ΛΛ],[,],0[nxx输入过程。

·Λ,,,21www滤波器系数，（权系数）·希望的响应d[n]·输出误差：][][][nyndne-=·正交性原理对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。

∑∞=-=0*) (][kkknxwny][][][nyndne-==∑∞=--*)(][kkknxwnd均方误差是：{}][*][neneEJ={}2|][|n e E=设权系数: k k k jb a w +=定义递度算子T k ],,[10ΛΛ∇∇∇=∇. 其中k k k k b j a w ∂∂+∂∂=∂∂=∇ 符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b J j a J J ∂∂+∂∂=∇要求Λ,,10w w 的值, 使得J 最小,即 0=∇J等价：0=∇J k Λ2,1,0=k由]}[*][{n e n e E J =得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇][][*][*][][][*][*][njebnenjebneneaneneaneEJkkkkk由∑∞=--=*][][][kkknxwndne得到：][][knxanek--=∂∂][][knjxbnek-=∂∂代入J k∇表达式整理得：]][*][[2neknxEJk--=∇当=∇J kΛ,1,0=k时，J达到最小。

设J达最小时，用][,new表示权系数和误差e[n]，且minJJ=则有：]][][[*=-neknxE，Λ,1,0=k以上为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交。

推论：]][][[*=nenyE·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）由正交性原理得][*][*][=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛---∑∞=iiinxwndknxEΛ,1,0=k定义：]][*][[][inxknxEkirx--=-]][*][[][ndknxEkrxd-=-有∑∞=-=-][][ixdxikrkirwΛ,1,0=k这就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最优权{}iw0。

对于M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程变为：∑-=-=-100][][Mixdxikrkirw，1,1,0-=MkΛ·矩阵形式：令TMnxnxnxn]]1[,],1[],[[][+--=Λx和]][][[n n E R H x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=]0[],2[*],1[*]2[],0[],1[*]1[],1[],0[r M r M r M r r r M r r r ΛM ΛΛ Winer-Hopf 方程：xd r w =0R 这里T M w w w w ],,,[100201000-=Λw 解方程求得：xd r w 10-=R·最小均方误差：在达最优时，][0n y 也写成]|[ˆn X n d ，表示由ΛΛ],1[],[-n x n x 张成的空间对d[n]的估计（最优线性估计）。

]|[ˆ][][][][00n X n d n d n y n d n e -=-= 也可以写成： ]|[][][0n X n d n e n d +=由]|[ˆnXnd和][0ne正交性得：[]2ˆ22][dodneEσσ+=2ˆm in dJσ+=即：2ˆ2m in ddJσσ-=由∑-=-=1*][]|[ˆMkknknxwXnd][nH xw=得]]|[*ˆ]|[ˆ[2ˆnndXndXndE=σ]][][[wxxw nnE HH=则2ˆ2m in ddJσσ-=2w Hd xdr-=σxdxdrr12--=RHdσ·误差性能表面由∑-=--=1*][][][M k kk n x w n d n e 直接代入]][*][[n e n e E J =整理得：∑∑∑∑-=-=-=-=-⋅+----=1011010**2][)(*)(M k M k M k M i x i kxd k xdk dk i r w w k r w k r w J σ由上式，可以看出，J 是W k 的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，J min 在碗底，其实，由上式直接对w k 求导，得到一组方程，正是wiener-Hopf 方程。

矩阵形式w w w w R J HHHd+--=xd xd r r w 2)(σ在x d r 10-=R w 时，达最小，xd xd r r w 12min )(min --==R J J Hdwσ 性能表面)(w J 可以写成：)()()(00min w w w w w --+=R J J H由于HQQ R Λ= 故)()()(00min w w w w w -Λ-+=HH Q Q J J令)(0w w v -=HQ通过坐标变换，得到如上规范形式，对于一个给定min J J ≠, 有：∑==-Mk kk v J J 12m in1||λ 这是超椭圆，kλ1为其一个轴。

数值例子1：有一信号][n s ，它的自相关序列为ksk r ⎪⎭⎫⎝⎛=212710][，被一白噪声所污染，噪声方差为3/2，被污染信号][n x 作为Wiener滤波器的输入，求2阶FIR 滤波器使输出信号是][n s 的尽可能的恢复。

解：本题中，][][][n v n s n x +=， ][][n s n d =。

由于只需要2阶滤波器设计，因此xd r w 1-=R o ＝[]T1186.0,3359.02240.01186.03359.0212710271027102min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅-=-=To H d J w r x d σ ＃数值例子2：①希望响应][n d 是一个AR(1)过程，8458.011=a ，][1n v 是白噪声，27.021=σ, 由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为:118458.011)(-⋅+=ZZ H ②][n d 经过了一个通信信通，信道的传输函数为)(2Z H ，并加入了白噪声1.022=σ即： 通道模型如图5所示:图5. 通道模型③求解：一个二阶FIR 结构Wiener 滤波器，目的是由x[n]尽可能恢复d [n ] 解：①][n d 是一个)1(AR 过程，27.0,1)(21111=+=-σZ a Z A②在][][][2n v n s n x +=中,][n s 是一个二阶)2(AR 过程,相当于)()()(21z H z H z H =由二阶)(z AR 参数，确定)(k r s , 由Yule-walker 方程：反解)1(),0(s s r r .得由上确定s[n]的自相关矩阵为:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=15.05.01s R 但：I R R s x ⋅+=22σ1.0100115.05.01⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1.15.05.01.1 ③求][k r xd{}][][][n d k n x Ek r xd -=由：][]1[9458.0][n d n s n s =--, 和][][][2n v n s n x += 代入上式得：]1[9458.0][][--=krkrkrssxd故5272.0])1[9458.0(]0[]0[=-⨯-+=ssxdrrr最优系数最小均方误差：性能表面规范误差性能表面解=-IRλ0)5.0()1.1(1.15.05.01.122=--⇒=--λλλ这是一个随圆，主轴212min⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λJJ，副轴211min⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λJJ·IIR Wiener 滤波器考虑Wiener-Hopf 方程在IIR 滤波器时的情况，为简单，先讨论非因果IIR 滤波器的设计式。

为简单，考虑实信号和实滤波器系数的情况。

在非因果条件下，Wiener-Hopf 方程改写为上式两边取z 变换，得或)()()(z z z H x xd ΓΓ=这里)(z H 是滤波器冲激响应（权系数）的z 变换，)(z x Γ是][k r x 的z 变换，)(z xd Γ是][k p 的z 变换。