(一) 直杆的纵向振动微分方程
(
x)
A(
x
)
2 u(
t
x
2
,
t
)
u(x, t)
[E(x) A(x)
]
x
x
f
(x, t )
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2u(x,t) c2 2u(x,t) 1 f (x,t)
t2
x2 A
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
u fdx
u
N
N N dx x
A
u dx x
C
u
u
AB u u dx x
B
x
dx
(一) 直杆的纵向振动微分方程
dx
u u dx x
u fdx
N
N N dx x
微段的轴向应变： (x,t)
u
u( x, t
x
)
dx
u
u(x,t)
dx
x
横截面轴向力：
N ( x, t )
E(x) (x,t)A(x)
第四章：无限自由度系统的振动
第一讲： 弹性杆的纵向振动
弹性杆的纵向振动
y
u( x, t )
x
图 弹性杆的纵向振动
杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿 x 方向（轴线）的振动规律。
弹性杆的纵向振动
【纵向振动的例子】
火箭的纵向耦合振动 POGO vibration
大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起 火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允 许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。
u( x, t )
f (x,t)
o
x dx
x
l
长度为 l 材料弹性模量为 E(x)
横截面积为 A(x)
体密度为(x)
u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移
f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u( x, t )
f (x,t)
o
x
dx
l
x
dx
u u dx x
第四章 无限自由度系统的振动
m
k
c
引言
u1
2k
k
m
c
u2
mk
u3
2k
m
离散系统
引言
连续系统 分布参数系统 无限自由度系统
引言
杆：以拉压为主要变形的构件 F
轴：以扭转为主要变形的杆 T
梁：以弯曲为主要变形的杆
F
T
F
一个方向的尺寸远 大于其他两个方向 的尺寸
板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件
各阶固有频率
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
(二) 固有振动
U(x) a2 sin c x
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
Un (x)
sin n
c
x
sin
n
l
x
x l
(二) 固有振动
【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。
y
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
x l
边界条件：
U (0) 0,U(l) 0
a1 0,
a2 c cos c l 0
各阶固有频率
cos l 0
c
n
(n
1) 2
1.固有振动
2u(x, t)
t2
c2
2u(x, t)
x2
（分离变量法）
u(x,t) U(x)q(t)
U (x)q(t) c2q(t)U (x)
q(t) c2 U (x) 2
q(t) U (x)
U (x) ( )2U (x) 0
c
q(t) 2q(t) 0
(二) 固有振动
U (x) ( )2U (x) 0
引言
连续系统与离散系统不同之处：
u
o x
A
u( x, t )
x
A
1. 连续系统的振动是时间和空间坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述 3. 连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型
引言
连续系统与离散系统相似之处：
1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加 3. 对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用
2.边界条件 y
x
简单边界条件
固定端： u 0
U 0
自由端： N EA u 0 x
U 0
(二) 固有振动
【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
a1 0,
a2 sin c l 0
sin l 0
c
x l
边界条件：
U(0) 0, U(l) 0
基本假设： 微振动假设 研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服 从胡克定律。
引言
实际工作中，如何分析连续系统的振动？
（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得 系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）
（2）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解
图 利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船） 离散化为离散系统
弹性杆的纵向振动
神六减轻“第120秒痛苦”
“神五” 火箭发射后120秒时，火箭箭 体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧水 平振动出现了耦合，形成一种纵向耦合振 动，造成航天员的痛苦。
神六设计时便改动了氧气输送管道的 一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。
图 神州五号飞船
(一) 直杆的纵向振动微分方程
E( x) A( x)
u( x, t )
x
( x) A( x)dx
2u( x, t )
t2
[N(x,t)
N ( x, t )
x
dx
]
N ( x, Байду номын сангаас )
f
( x, t )dx
(x) A(x) 2u(x, t)
u(x, t)
[E(x) A(x)
] f (x,t)
t2
x
x
（直杆纵向受迫振动微分方程）
引言
1744年， Euler研究了梁的横向自由振 动，导出了铰支、固定和自由三类边界 条件下的振型函数与频率方程 1759年， Euler解决了矩形膜的自由振 动问题 1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、 Navier建立板弯曲振动理论。
瑞士-俄罗斯科学家 Euler（1707-1783）
c
q(t) 2q(t) 0
U
(
x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
q(t) b1 cost b2 sint
u(x,t) U (x)q(t)
(a1
cos
c
x
a2
sin
c
x)(b1
cos
t
b2
sin
t)
固有振动的 表达式
a1, a2 ,
固有振型函数
由边界条件确定 b1, b2
由初始条件确定
(二) 固有振动