则随机变量序列ξ１，ξ２，Λ，ξ１０００ 相互独立，设商店应预备 ｍ６ 的二项分布，依题意
ｐ｛ξｋ＝１｝＝０．６ ｐ｛ξｋ＝０｝＝０．４ 所以，Ｘ 数学期望和标准方差为
Ｅ（ｘ）＝ｎｐ＝１０００ × ０．６ ＝ ６００，
由中心极限定理得
所以 ｍ＝５．６９ 千瓦。 这说明只要给这个部门供电 ５．６９ 千瓦，那么由于供电而影响 工作的概率就小于 ０．０１。 ３ ． 抽样检验问题 例 ３ 抽样检验产品质量时，如果发现次品个数多于 １０ 个，则 拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为 １０％，问至少应该抽 取多少只检查，才能保证拒绝该产品的概率达到 ０．９？ 解：设至少应该抽取 ｍ 件产品，ξ为其中的次品数，又设
，
Ｅ（ξｉ）＝１ × ０．３ ＋ １．２ × ０．２ ＋ １．５ × ０．５ ＝ １．２９ Ｄ（ξｉ）＝１２ × ０．３＋１．２２ × ０．２ ＋ １．５２２ × ０．５ ＝ １．７１３ 设 Ｙ 为全天蛋糕的收入，则 Ｙ ＝ξ１ ＋ξ２ ＋Λ＋ξ３００ 由中心极限定理知
近似服从 Ｎ（０，１） 从而 Ｐ（Ｙ ≥ ４００）＝ １－Ｐ（Ｙ ＜ ４００）
则
，由于随机变量ξｉ 的数学期望和方差为
Ｅ ξｉ＝１０％， Ｄ ξｉ ＝ ｐ（１－ｐ）＝０．１ × ０．９＝０．０９ 所以ξ的数学期望 Ｅ（ξ）＝ｎＥ ξｉ＝０．１ｎ；方差 Ｄ（ξｉ）＝０．０９ｎ 由中心极限定理得
＝ ０．２３８３５ （２）设 Ｘｉ 为“售出价格为 １．２（元）的蛋糕的个数” ｉ＝１．２，Λ， ３００。则｛Ｘｉ｝是独立且同分布的随机变量序列，
Ｘｉ 的分布律为
Ｅ（Ｘｉ）＝０ × ０．８＋１ × ０．２ ＝ ０．２ Ｄ（Ｘｉ）＝０２ × ０．８＋１２ × ０．２ ＝ ０．２ 设 Ｚ 为当天售出价格为 １．２ 元的蛋糕数 则 Ｚ ＝ Ｘ１＋Ｘ２＋ Λ＋ Ｘ３００ 由中心极限定理知
近似服从 Ｎ（０，１）
从而 Ｐ（Ｚ ＞ ６０）＝ １－Ｐ（Ｚ ≤ ６０）
一、常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有许多个中心极限定理，限于篇幅，这 里只介绍Ｄｅ Ｍｏｉｖｒｅ－Ｌａｐｌａｃｅ极限定理和独立同分布中心极限定理． 他们的内容简述如下： １．Ｌｉｎｄｅｂｅｒｇ－Ｌｅｖｙ 极限定理（独立同分布中心极限定理） 若ξ １， ξ ２， Λ， ξｎ， ξ是一列独立同分布的随机变量，且数学 期望 Ｅξｋ＝ａ，方差 Ｄ ξＫ＝ σ ２（σ＞０），ｋ＝１，２，……．则有
＝ ０．５ 中心极限定理在商业中的应用是很广泛的，以上实例只说明 了其在四个方面的应用。一般地，如果一个随机变量能够分解为相 互独立且同分布的随机变量序列之和的问题，则可以直接利用中 心极限定理进行分析；此外，在大样本的情况下，求未知非正态 分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决。总之，在正确理 解中心极限定理的含义的同时，恰当的使用中心极限定理解决实 际问题有着极其重要的意义。
着的电器数 Ｘ 服从 Ｂ（１０， ）。假设供电 ｍ 千瓦才能以 ９９％ 的概率
７０ 《商场现代化》2006 年 10 月（中旬刊）总第 482 期
经营管理
保证用电，也就是 Ｐ（Ｘ ≤ ｍ）≥ ０．９９。
而随机变量 Ｘ 的数学期望
，方差
所以由中心极限定理知：Ｘ 近似服从正态分布
查正态分布表得
则｛ ξｉ ｝ 是独立且同分布的随机变量序列， 其分布律为
参考文献： ［ １ ］刘嘉琨等： 应用概率统计． 北京． 科学出版社，２ ０ ０ ４ ，１ ９ ５ － １６３ ［２］周少强：大数定律与中心极限定理及其在实际中的应用．广 西大学梧州分校学报，１９９４（１），３９－４３ ［３］陈永庆 杨桂元：经济数学基础学习指导与题解．北京．中国 物资出版社，１９９９，２２０－２２２ ［４］华天瑞：关于中心极限定理的数学建模．苏州职业大学学报， ２００２（３），２２－２４ ［５］魏宗舒等：概率论与数理统计教程，高等教育出版社，１９８３ 年 １０ 月第一版，２０８－２２４
７１ 《商场现代化》2006 年 10 月（中旬刊）总第 482 期
经营管理
中心极限定理在商场管理中的应用
宋庆龙 唐山师范学院
［摘 要］ 文章通过实例介绍了中心极限定理在商品订购、电力供应、抽样检验、获利问题等方面的应用，说明了中心极限定理在 商场管理中的作用。
［关键词］ 中心极限定理 商场管理 应用
中心极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基 石之一。它确立了正态分布在各种分布中的首要地位。对其可 解释为：概率论中一切论述“一系列相互独立的随机变量的和 的极限分布为正态分布”的定理统称为中心极限定理。具体来 说，有些即使原来并不服从正态分布的一些随机变量，其总和 的分布也收敛于正态分布。这些随机变量是大量独立的因素， 其中每项因素的影响是微小的、均匀的，没有一项因素具有特 别突出的影响，则这些变量和的分布，可用中心极限定理来解 决。虽然中心极限定理反映的是当 ｎ →∞时，一系列相互独立的 随机变量 Ｘ１，Ｘ２，Λ，Ｘｎ，Λ的和的极限分布为正态分布，但在应 用中心极限定理解决问题时，只要 ｎ 充分大（一般 ｎ ≥ ３０，ｎ 越大 越好）我们就可以用中心极限定理作近似计算。它为解决实际问 题提供理论基础。
这个定理说明，在当 ｎ 很大时，随机变量
近似服从
标准正态分布 Ｎ（０，１）。 ２．Ｄｅ Ｍｏｉｖｒｅ－Ｌａｐｌａｃｅ 极限定理 设随机变量ξｎ 服从二项分布 Ｂ（ｎ，ｐ），对任意的实数 ｘ，都有
这个定理说明二项分布的极限分布是正态分布，因此 充分 大时，
二、中心极限定理的应用 中心极限定理指出：如果一个随机现象由众多的随机因素所引 起，其中每一因素在总的变化里起着不大显著的作用，就可以推
由于 ｎ 充分大时，
所以，
即
查标准正态分布表得
解得 ｎ ≥ １４７，所以至少应检验 １４７ 件产品，才能保证拒绝该 产品的概率达到 ０．９。 ４ ． 获利问题 例４商场中的食品摊位有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋 糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取１ （元）、１．２（元）、１．５（元）各个值的概率分别为 ０．３、０．２、０．５．若 售出３００只蛋糕．（１）求收入至少４００（元）的概率；（２）求售出价格为 １．２（元）的蛋糕多于 ６０ 只的概率。 解：（１）设ξｉ 为售出的第 ｉ 只蛋糕的价格，ｉ＝１，２，…３００。
断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布。所以如果
要求随机变量之和 Ｘｋ落在某一区间上的概率，只要把这个和标
准化，然后用正态分布做近似计算即可。下面阐述一下中心极限 定理在商场管理中的应用。
１ ． 商品订购问题 例 １某商店负责供应某地这 人的商品，某种商品在一段时 间 内 每 人 需 用 一 件 的 概 率 为 ，假 定 在 这 段 时 间 每 个 人 购 买 与 否彼此独立，问商店应备多少件这种商品才能以 ９９．７％的概率 保证不脱销？ 解：设每个人购买与否为随机变量ξｋ，则
查标准正态分布表得
故 ｍ＝６４３ 件 因此商店应至少预备 ６４３ 件这种产品才能以 ９９．７％ 的概率保 证不脱销。 ２ ． 电力供应问题 例 ２ 商店某部有 １０ 台同型号的电器，每台电器开动时需用电 力 １ 千瓦。每台电器开停可理解为处于随机状态，且相互独立，如 果每台电器开着的概率为四分之一。问至少应供应这批电器多少 电力，才能有 ９９％ 的把握保证这批电器都能正常工作？ 解：将一台电器是否工作视为一次试验，则 １０ 台电器中工作