河北省唐山市2021届高三数学上学期第一次摸底考试试题
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝
A.{x|－2<x<3}
B.{x|0<x<3}
C.{x|－3<x<2}
D.{x|0<x<2}
2.若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝
A.1－i
B.2
C.1＋i
D.2
3.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策。
某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名。
按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有
A.24
B.14
C.12
D.8
4.居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果。
通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度。
如右图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是
A.居民消费价格指数变化幅度相对不大
B.食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大
C.食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数
D.食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致
5.右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中
A.直线AB 与直线CD 平行
B.直线AB 与直线CD 相交
C.直线AB 与直线CD 异面垂直
D.直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°
6.已知f(x)＝2x －(12
)x ，若f(m)＋f(n)>0，则 A.m ＋n>0 B.m ＋n<0 C.m －n>0 D.m －n<0
7.已知a ，b 都是单位向量，满足|a ＋2b|＝|a －2b|，则cos<a ，a ＋2b>＝ 52512
38.已知f(x)＝|sinx|cosx ，则
A.f(x)的值域为[－1，1]
B.f(x)在[0，
2π]上单调 C.π为f(x)的周期 D.(2
π，0)为f(x)图像的对称中心 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.设0<a<b<1，0<c<1，则
A.c a <c b
B.log c a<log c b
C.a c <b c
D.log a c<<log b c
10.若(x 2＋
1ax )6的展开式中x 3的系数是－160，则 A.a ＝－12
B.所有项系数之和为1
C.二项式系数之和为64
D.常数项为－320 11.已知双曲线C ：2
221(0)y x b b
-=>的一条渐近线l ：y ＝2x ，设F 1，F 2是C 的左右焦点，点P 在l 上，且|OF 1|＝|OP|，O 为坐标原点，则
A.C的虚轴长为
B.∠F1PF2＝90°
C.||PF1|－|PF2||＝2
D.△PF1F2的面积为
12.已知f(x)＝x－
2
x
π
－sinx。
A.f(x)的零点个数为4
B.f(x)的极值点个数为3
C.x轴为曲线y＝f(x)的切线
D.若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知x，y满足约束条件
x y20
x y20
y2
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≤
⎩
，则z＝2x＋y的最小值为。
14.已知等差数列{a n}的公差不为零，若a3，a4，a6成等比数列，则a2＝。
15.F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且|PQ|＝2，则△PQF外接圆的方程为。
16.己知四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为。
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2。
有以下3个条件：
①2ccosA＝b；②2b－a＝2ccosA；③a＋b＝2c。
请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12分)
在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n－n＋1。
(1)证明{a n＋1－a n－n}为等比数列；
(2)求a n。
19.(12分)
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E 是AD的中点。
(1)求证：平面PBE⊥平面PAD；
(2)直线PB与平面PAD所成角为45°，求二面角C－PE－D的余弦值。
20.(12分)
田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》。
齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。
双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等。
上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序。
(1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
(2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
(3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果)。
21.(12分)
已知椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
6
l：x＝ty＋1交E于A，B两点；
当t＝0时，|AB|26。
(1)求E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标。
22.(12分)
已知a>0，函数f(x)＝ax－lnx。
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若a>1
e
，证明，f(x)>1－xe－ax。
(提示：(e－ax)'＝－ae－ax)。