高考数学总复习题型分类汇《不等式选讲》篇经典试题大汇总目录【题型归纳1】题型一解绝对值不等式 (3)题型二解绝对值三角不等式 (4)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (4)题型四用放缩法、反证法证明不等式 (5)【题型归纳2】题型一绝对值不等式、均值不等式 (6)题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法 (7)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (7)高考数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数()12f x x x =-+-（1）解不等式()3f x >.（2）若()f x a >对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()03∞∞ －，，＋；（2）实数a 的取值范围是()1∞-，【解析】(1)因为()12f x x x =-+-=⎪⎩⎪⎨⎧-.＞23,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以当1x ＜时，323x －＞，解得0x ＜；当12x ≤≤时，()3f x ＞无解；当2x ＞时，233x －＞，解得3x ＞.所以不等式()3f x ＞的解集为()()03∞⋃∞－，，＋.(2)因为()f x ＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以()f x min ＝1.因为()f x a ＞恒成立，所以1a ＜，即实数a 的取值范围是()1∞－，.【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析，使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数()12f x x x =-+-，若不等式||||||()a b a b a f x ≥＋＋－对0a a b R ≠∈，、恒成立，求实数x 的范围.【答案】}15{|22x x ≤≤【解析】由()x f a b a b a ≥-++且0≠a 得()()x f ab a b a ≥-++.又因为()2=-++≥-++a ba b a ab a b a ，则有2()f x ≥.解不等式|12|2x x ≤－＋－得1522x ≤≤.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如c b x a x ≥-+-和c b x a x ≤-+-型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈．（1）当3=a 时，求不等式()7>x f 的解集；（2）对任意R x ∈恒有()3≥x f ，求实数a 的取值范围．【答案】0|{<x x 或}2>x ，[)+∞,2【解析】（1）当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或（2）()2122121f x x a x a x a x a a a=-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞【易错点】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【思维点拨】绝对值不等式的解法中，a x <的解集是()a a ,-；a x >的解集是()()+∞-∞-,,a a ，它可以推广到复合型绝对值不等式ax b c +≤，ax b c +≥的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式.题型四用放缩法、反证法证明不等式例1已知a b R ∈，，且1a b ＋＝，求证：2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋【证明】方法一：(放缩法)因为1a b ＋＝，所以左边＝()22222(b 2)125(2)(2)2[][()4]222a ab a b +≥＋＋＋＋＝＋＋＝＝右边.方法二：(反证法)假设2225(2)(2))2a b ＋＋＋＜，则22254()82a b a b ＋＋＋＋＜.由1a b ＋＝，得1b a ＝－，于是有2225(1)122a a ＋－＋＜.所以21()02a －＜，这与21(02a ≥－矛盾.故假设不成立，所以2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋.【思维点拨】根据不等式左边是平方和及1=+b a 这个特点，选用重要不等式2222(2a b a b ≥＋＋来证明比较好，它可以将具备22a b ＋形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件1a b ＋＝，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【题型归纳】题型一绝对值不等式、均值不等式1.【题干】已知函数()21----=x x m x f ，R m ∈，且()01≥+x f 的解集为[]1,0.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c ，x ，y ，R z ∈，且m c b a z y x =++=++222222，求证:1≤++cz by ax .【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121|m x m x （2）见解析【解析】（1）()mx x x f ≤-+⇒≥+|1|||01 当1<m 时， |1|1||≥-+x x ，1|1||<-+∴x x 的解集为空集，不符合题意当1≥m 时①021,210<≤-∴-≥<x mm x x 时，得②恒成立时，得1110≥∴≤-+≤≤m m x x x ③121,211>≥+∴+≤>x m m x x 时，得综上：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-+21,21|1|||m m m x x 的解集为由题意得：1121021=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-m m m（2）zcc z by b y ax a x 2,2,2222222≥+≥+≥+ ()cz by ax c z b y a x ++≥+++++∴22222221222222=++=++c b a z y x ()22≤++∴cz by ax 1≤++∴cz by ax 题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法1.【题干】.已知函数()12-=x x f ．（1）求不等式()1+<x x f 的解集；（2）若1=+b a ，()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1){}02x x <<(2)14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）因为()1+<x x f 所以1121+<-<--x x x ,不等式()1+<x x f 的解集为：{}20|<<x x (2)因为1=+b a ，且a ，b 为正实数,()()1222=+≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a a b 当且仅当b a =时等号成立.因为()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立,所以()()11>+-x f x f 当21≥x 时不等式不成立；当2121<<-x 时解集为⎭⎫⎩⎨⎧-<<-4121|x x ；当21-≤x 时不等式恒成立解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤21|x x .综上不等式解集为⎭⎫⎩⎨⎧-≤41|x x .题型三利用绝对值不等式求参数范围1.【题干】设函数()222f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若27,()2x R f x t t ∀∈≥-，恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦,(2)322t ≤≤【解析】（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，当1,42,6x x x <--->∴<-当12,x -≤<32x >，223x ∴<<当2x ≥，42,2x x +>∴≥。

综上所述263x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．（2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若211,()2x R f x t t ∀∈≥-，恒成立，则只需22min 7()3,2760,2f x t t t t =-≥--+≤解得，322t ≤≤。

，综上所述322t ≤≤．2.【题干】已知函数()2123f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）10a -<<或34a <<.【解析】（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩，解得：322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.即不等式的解集为{}12x x -≤≤.（2）不等式22()log (3)2f x a a -->等价于22log (3)22123a a x x -+<++-，因为2123(21)(23)4x x x x ++-≥+--=，所以()f x 的最小值为4，于是22log (3)24a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎪⎨--<⎪⎩，所以10a -<<或34a <<3.【题干】.已知函数()21f x x a x =-+-．（1）解关于a 的不等式()12f ≥；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a ≥或0a ≤；（2）2a ≤-或6a ≥.【解析】（1）()12112f a a =-+-=-，224a a -≥⇒≥或0a ≤(2)当2a >时，()31,21,1231,1a x a x a f x x a x x a x ⎧-->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-++<⎪⎪⎩可知()f x 的最小值为12622a af a ⎛⎫=-≥⇒≥ ⎪⎝⎭，则此时6a ≥；当2a ≤时，()31,11,1231,2x a x af x x a x a x a x ⎧⎪-->⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-++<⎪⎩，可知()f x 的最小值为12222a a f a ⎛⎫=-+≥⇒≤- ⎪⎝⎭，则此时2a ≤-综上：2a ≤-或6a ≥.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：必修课程主题学分课时包含的内容与现形课标的对照，在现形课标中的位置与现形课标对比，内容的不同主题一（预备知识）819集合A版：必修1第一章 1.1节考查知识点基本不变B版：必修1第一章全部内容考查知识点基本不变常用逻辑用语（与A版内容较接近）A版：选修2‐1第一章1.1节，1.2节，1.4节基本不变B版：选修2‐1第一章1.1节，1.3节新课标增加了全称量词与存在量词一元二次函数、方程和不等式（与B版内容接近）A版：必修1第二章2.3节中与幂函数有关的一元二次函数提了出来必修5第二章3.1节，3.2节，3.4节中关于不等式的知识知识点基本不变不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函数知识必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知识基本不变主题二（函数及应用）54函数概念与性质（与A版内容接近）A版：必修1第一章1.2节，1.3节基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期性幂函数、指数函数、对数函数（与A版内容接近）A版：必修1第二章2.1节，2.2节，2.3节基本不变B版：必修1第三章3.1节，3.2节，3.3节基本不变三角函数（与A，B版内容相差不大）A版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变B版：必修4第一章全部内容及第三章基本不变全部内容函数综合应用（与A版内容接近）A版：必修1第三章全部内容基本不变B版：必修1第二章2.3节，2.4节增加了函数模型主题三（几何与代数）44平面向量及应用（与A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部内容基本不变B版：必修4中第二章全部内容基本不变复数（与A版内容接近）A版：选修2‐2第三章全部内容增加了选学内容“复数的三角表示”B版：选修2‐2无教材立体几何初步（与B版内容接近）A版：必修2第一章全部内容及第二章全部内容基本不变B版：必修2第一章全部内容基本不变主题四（统计与概率）18统计（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统计图表”B版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变概率（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第三章全部内容基本不变B版：必修3第三章3.1节，3.2节，3.4节基本不变主题五（数学建模与数学探究）5数学建模与数学探究要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、结题四个环节。