由图8-128知，a ,b ,∥ a∥b，故得不到a b ，
选项B错；
由图8-129知，a ,b∥ , a b，选项D错.
对于选项C，
∥ b
b
b
a
，故选C.
a
【例8.34】如图8-130所示，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AC BD垂足为 E，求证：BD A1C.
图形
三垂线定理
逆定理
在平面内的一条直线， 在平面内的一条直线， 文 字 如果和这个平面的一条 如果和这个平面的一条
语 斜线的射影垂直，那么 斜线垂直，那么它和这 言 它也和这条斜线垂直. 条斜线的射影垂直.
符 号 语
于点 A
a OA
a
OA
言 a OA
【分析】根据面面垂直的判定，由线面垂直 面面垂直. 【解析】 OC 底面 ABC ，故OC AC . 因为ACB 90 ，所以 AC BC，
OC BC C，故AC 平面 OBC .又 AC 平面 ACD ， 所以平面ACD 平面 OBC.
【分析】 直接利用三垂线定理.
【解析】在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，因为 AA1 底面ABCD ，所以AC是A1C 在 平面 ABCD上的射影.又因为BD AC， BD 平面ABCD ，所以 BD A1C.
【例8.38】如图8-141所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别在 AA1,CC1 上，且 B1E A1B, B1F BC1，求证：BD1 平面 B1EF.
3. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 二、斜线在平面内的射影
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫作斜线 在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫作这点到平面的斜线段在这个 平面内的射影.
斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
三、三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理如表8-11所示. 表 8-11
✎知识点精讲
一、直线与平面垂直 1. 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条 直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直. 2. 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这
条直线垂直于平面，用数学符号表示为：已知 m ,n ,m n B ， l m,l n ，则 l .
a PO
题型116 证明空间中直线、平面的垂直关系
【例8.33】设 a,b是两条直线，, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是
（ ）.
A.a ,b∥, B. a ,b ,∥
C. a ,b ,∥ D. a ,b∥ ,
【解析】 举反例排除法.
由图8-127知，a ,b∥ , a∥b，故选项A错；
第八章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质
✎考纲解读
1. 以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂 直的有关性质和判定定理. （1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此 平面垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明： （1）垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一平 面垂直. 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简 单命题.
【分析】由三垂线定理证明 BD1 B1E, BD1 B1F ，再方法一证得线面垂直. 【解析】A1B 为 BD1 在侧面 ABB1A1上的射影，B1E A1B，据三垂线定理得 B1E BD1
同理BD1 B1F. B1E B1F B1，B1E 面B1EF，所以 BD1 平面B1EF.
【例8.40】如图8-147所示，在三棱锥 O ABC 中，OC 底面 ABC，ACB 90， 点 D在棱OB 上.求证：平面ACD 平面OBC.