三角函数复习专题
一、知识框架：
二、复习要点：
1．主要内容：同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角（差角）公式，倍角公式；
正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数()
sin y A x ωϕ=+的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：化简、求值、证明；求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：化简、求值、证明常涉及三个方面的变形：角、函数名称、运算方式，关键是角的处理。
常用的变形措施有：负角化正，大角化小，切割化弦，化异为同，降高为低，引进辅助角，“1”的变换，和差配凑等。
对于给式求值的问题，要针对目标运用条件；对于证明问题，消除条件和结论的差异。
求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题； 求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
三、重要数学方法：
（1）化归的思想方法：化难为易，化生为熟，画繁为简，化未知为已知。
例题1：求函数sin (0)2cos x y x x
π=
<<+的最大值。
练习：求函数sin 3cos 4
x y x +=-的最值。
（2）数形结合思想：
例题2：定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[
3,5]x ∈时，()24f x x =--，则（ ）
A ．(sin )(cos
)6
6f f π
π<
B .(sin 1)(cos1)f f >
C ．(sin 2)(cos 2)f f < D.22(sin )(cos )3
3
f f ππ>
（3）换元的思想方法：求函数的定义域，周期，单调取间时，都可能用到整体换元的思想。
例题3：求函数(43sin )(43cos )16y x x =---的最值。
练习：求函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++的最值。
又若[0,]2
x π∈呢？
（4）分类讨论的思想方法：当涉及字母取值时，往往引起分类讨论，要弄明白为什么分类讨论，怎样讨论。
例题4：已知函数()2sin(2)3
f x a x b π=-
+的定义域为[0,]2
π，函数的最大值为1，最小值为-5，
求a 和b 的值。
（5）函数方程思想：在解决数学问题时，先设定一些未知数，根据题设各量之间的关系列出方程，求得未知数；或者如果变量间的数量关系是用解析式给出的，那么把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决。
例题5：是否存在两个锐角α和β
，使得22;tan tan 23
2
πααββ+=⋅=-
若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由。
（6）巧用2
2
sin cos 1αα+=解题。
例题6：已知1sin cos ,(0,)5
θθθπ+=
∈，求cot θ的值。
练习：已知3
3
sin cos 1x x +=，求2009
2009
(sin )(cos )x x +的值。
（7）利用单位圆中的三角函数线解题。
例题7：若22
sin cos αα>，则α的取值范围是多少？
四、高考题：
1．（06四川）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A ）
sin 6y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭ （B ）
sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭
（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭ （D ）cos 26y
x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭ 2．（06
北京）已知函数1)
4()cos x f x x
π
--=
，
（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3
α=-
，求()f α的值.
3．（06
重庆）设函数2
()sin cos f x x x x a ωωω=
++（其中0,a R ω>∈）
，且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6
π。
（I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
a 的值。
4．（07天津）已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x R =-+∈。
（1） 求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间3[
,
]8
4
π
π的最大值和最小值。
五、练习与应用：
1．函数()sin cos f x a x b x =-图象的一条对称轴是直线4
x π
=
，则常数a 与b 满足 （ ）
A ．0a b +=
B ．0a b -= C
．0a += D ．
0a -=
2. 函数)2
52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是
（ ）
A ．2
π-
=x B ．4
π
-=x
C ．8
π=x D ．π4
5=x
3．要得到sin
2x
y =的图象，只需将函数cos 24x y π
⎛⎫=-
⎪⎝⎭
的图象
（ ）
A ．向左平移
4
π
个单位 B ．向右平移
4
π
个单位C ．向左平移
2
π
个单位 D ．向右平移
2
π
个单位
4．若()sin f
x x 是周期为π
的奇函数，则()f
x 可以是 （ ）
A ．sin x
B ．cos x
C ．sin 2x
D ． cos 2x
5．函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪
⎝
⎭
的一个单调递增区间是 （ ）
A ．,
6
3π
π⎡⎤
-⎢
⎥
⎣
⎦
B ．5,3
6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．513,12
12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ． 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6．已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是 （ ） A 函数)(x g x f y ⋅=）（的周期为π2 B 函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1
C 将)(x f 的图像向左平移2
π单位后得)(x g 的图像 D 将)(x f 的图像向右平移2
π单位后得)(x g 的图像
7．函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 。
8．函数3sin 34cos 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
⎭
的最小正周期是 。
9. 函数)
4
2sin(log
2
1π+
=x y 的单调减区间为 。
10、要得到函数)3
2cos(2π+=x y 的图像。
可以由诱导公式先把它变成sin 2=y ( ) 然后由
x y sin =的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后
把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到)32cos(2π+=x y 的图像。
11．求函数]2)3
2[sin(log 3
++
=πx y 的定义域、值域、单调性、周期性、最值。
12．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ωϕω=+>>∈
在一个周期内的图象如图所示。
求直线y =
与函数()f x 图象的所有交点的坐标。