一元函数求极限的若干方法（陕西师范大学 数学系，陕西 ）摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法.1 利用极限的定义求极限极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限.1.1 数列极限的定义设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有ε<-a x n ,我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为a x n n =∞→lim 或 ()∞→→n a a n .例1 按定义证明01lim=∞→an n ，这里a 是常数. 证 由于aa nn 101=-， 故对任给的0>ε,只要取111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=a εN ，则当N n >时，便有εN n a a <<11 即εna <-01.这就证明了 01lim=∞→an n . 例2证明223lim33n n n →∞=- 分析 由于()2223993333n n n n n-=≤≥-- （1）因此，对任给的0ε>，只要9nε<，便有 2233,3n n ε-<- （2）即当9n ε>时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取9max 3,.N ε⎧⎫=⎨⎬⎭⎩ （3）证 任给0ε>，取9max 3,.N ε⎧⎫=⎨⎬⎭⎩据分析，当n>N 时有（2）式成立．于是本题得证．注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可．1.2 函数极限的定义函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于0x 时函数的极限.1.2.1 x 趋于∞时函数的极限设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数()a M ≥，使得当M x >时有()ε<-A x f ，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为()A x f x =+∞→lim 或 ()()+∞→→x A x f .1.2.2 x 趋于0x 时函数的极限设函数f 在点0x 的某个空心邻域()'。

δx U ;0内有定义，A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数()'δδ<，使得当δx x <-<00时有()ε<-A x f ，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记为()A x f x x =→0lim 或 ()()0x x A x f →→.例3 证明 01lim=∞→xx . 证 任给0>ε,取εM 1=,则当M x >时有εMx x =<=-1101, 所以01lim=∞→xx . 例4 设()242--=x x x f ,证明()4lim 2=→x f x .证 由于当2≠x 时,()24242442-=-+=---=-x x x x x f ,故对给定的0>ε,只要取εδ=,根据题意当δx <-<20时有()εx f <-4.这就证明了()4lim 2=→x f x .注 用极限的定义时，只需证明存在 σ,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧．但是不能把含有δ的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的δ一致，最后结合在一起考虑．2 利用极限的四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等.2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限直接运用函数极限的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.定理 若极限()()0lim lim x x x xf xg x →→与都存在，则函数()()()()()()()()()()()()0000,.1lim lim lim ;2)lim lim .lim ;lim 3)lim .limg x x x x x x x x x x x x xx x x x x f g f g x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x x g x →→→→→→→→→±→±=±⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦=当时极限也存在，且）例5 求极限：143lim 23+-→x x x .解 1614lim 3lim 143lim 32323=+-=+-→→→x x x x x x x .例 6 0sin lim 1lim sin lim=⋅=∞→∞→∞→x x xx x x x (这种解法是错误的，因为x x sin lim ∞→不存在，因此x x x sin lim ∞→不能写成x x x x sin lim 1lim ∞→∞→⋅.)2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限.间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为∞时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解.2.2.1 消零因子法对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.例7 求极限 633lim 2233-+--+-→x x x x x x .解 ()()()()5821lim 3231lim 633lim 23232233-=--=+-+-=-+--+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x .2.2.2 无穷大分除法当∞→x 时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母 再取极限.例8 .22532lim22----+∞→x x x x x解 根据题意22532lim 22----+∞→x x x x x .52215312lim 22= =+ xx x x x 此类型的题可总结为=++++++++----+∞→m m m m n n n n x b x b x b x b a x a x a x a ΛΛ2211022110lim ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞000b an m n m n m >=< 以后直接利用该公式即可.3 利用柯西准则求极限定理 设函数f 在)',(00δx U 内有定义. )(lim 0x f x x →存在的充要条件是对于任意的0>ε，存在正数)'(δδ<，使得对于任何)',(',00δx U x x ∈有ε<-|)''()'(|x f x f下面证明 xx 1sinlim 0→不存在。

证明 取1=ε，对任何0>δ，设正整数δ1>n ，令πn x 1'=，21''ππ+=n x ，则)',(',00δx U x x ∈，从而ε==-1|'1sin '1sin|x x . 由柯西准则可知xx 1sinlim 0→不存在。

4 利用两个重要极限求极限1sin lim 0=→x x x e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . 只要符合上述两个重要极限的形式的函数极限都可以尝试使用此方法. 例9 .21sin 21lim 2sin lim 00== x x x x x x例10 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim . 【说明】 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑出x1+，最后凑指数部分.解 2221211212111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+∞→+∞→+∞→. 5 利用无穷小的性质求极限注 1 两个（相同类型的）无穷小量之和﹑差﹑积仍为无穷小量．2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．例11 ①01sin lim 0=⋅→x x x ②0sin lim =∞→x xx (这两个极限一定要区分开).6 利用等价无穷小量代换求极限若()()0lim 1x x f x g x →=，()()()00.f g x x f x g x x x →→:则称与是当时的等价无穷小量.记作 例12 求 30tan sin lim sinx x x x→-极限 解 由于()()()()23323300sin tan sin 1cos ,sin 0cos 1cos 0,sin 0,2.tan sin 112lim lim .sin cos 2x x xx x x x x x xx x x x x x x x x x x x x →→-=-→-→→-==:::而故有注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。

5 利用夹逼准则求极限夹逼准则 若Y Z X ≤≤且A Y X ==lim lim ,则：A Z =lim .当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值.特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式.例13 求21lim nnn +∞→的极限.解 对任意正整数n ,显然有nn n n n n 221122=≤+<. 而01→n 02→n()∞→n 。

由夹逼准则得 01lim2=+∞→n nn .6 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限；如函数()x f 在0x 点连续，则()()00lim x f x f x x =→，而初等函数在其定义域又是连续的，所以在通常情况下只需把0x x =带入函数()x f 中，若所得结果是有意义的则此结果就是极限值，因此此方法也简单的称为直接带入法.例14 求2132lim 20+++→x x x x 极限.分析 因为函数()21322+++=x x x x f 在0=x 处连续，所以上式的极限等于把0=x 代入原函数即可.解 原式212010302=++⋅+⋅= (其特点是可以直接代入，因为分母的极限不为0，所以当直接代入分母的极限不为0时就用直接代入法).例15 求()20ln 1limcos x x x→+极限解 由于0x =属于初等函数()()2ln 1cos x f x x+=的定义域之内，故由f 得连续性得()()20ln 1lim00cos x x f x→+==7 利用洛比达法则求极限7.1 错误!未找到引用源。