Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘子法 ； 曲线 ； 曲 面
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ １ ０ ３ — ０ ３
线， 利用 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子法 ， 讨论这些几何对象 间相距最远或最近点应满 足的条件 ， 并 求 出相 关 关 系式 ． 关键词
解 设点 Ｐ （ ｚ ， Ｙ ） 和点 Ｐ ２ （ ｚ ２ ， ｚ ） 分 别位 于
为零 ． 若 “一 ｄ 在
．
曲线 ｆ （ ｘ ， ）一 ０和 ９ （ ｘ， ）一 ０上 ， 则 问题化 为 求
“一 ｄ 一 （ ｚ１ 一 ｚ ２ ） ＋ （ １一 Ｙ ２ ）
２ ７ １一 ａ ， Ｙ ｌ 一卢 ， Ｘ ２ 一 ， Ｙ ２
第 １ ８卷 第 ４期 ２ ０ １ ５年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴ ＵＤ Ｉ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ Ｉ ． １ ８ ， Ｎｏ ． ４ Ｊ ｕ １ ．，２ ０ １ ５
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ４ ． ０ ３ ４
中 图分 类 号 Ｏ１ ７ ２
Ｏｐｔ ｉ ｍａ ｌ Ｐｏ ｉ ｎｔ ｓ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ Ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ａ ｎｄ Ｃｕ ｒ ｖ ｅ ｓ
Ｗ ＡＮＧ Ｈｏ ｎ ｇ ｂｏ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ａｕ ｔ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｈｅ ｆ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｈｅ ｆ ｅ ｉ ２ ３ ０ ０ ０ １ ，Ｐ ＲＣ） Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｂｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｒ ，ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｆ ａ ｒ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｏ ｒ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｓ ｔ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｏ ｎ ｔ ｗｏ ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ｉ ｓ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｔ Ｏ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ：ｔ ｗｏ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ，ａ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ａ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ，ａ ｎ ｄ ｔ ｗ０ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ．Ｔｈ ｅ ｒ ｌ ｅ ｖ ａ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍｕ １ ａ ｓ ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ．
空 间 曲线 曲面 最 远 最 近 点 关 系
王 泓博
（ 合 肥 工 业 大 学 电 气 与 自动 化 工 程 学 院 ， 安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ １ ）
摘
要 将 研 究 对 象 从 两 条 平 面 曲 线 分 别 扩 展 至 两 个 空 间 曲 面 、 一 个 空 间 曲 面 与 一 条 空 间 曲线 、 两 条 空 间 曲
的点 ， 则 必 有
一 一
≠ ２
ｆ （ ｘｌ ， １ ）： ≠０
，
（ ｘ ２ ， Ｙ ２ ）≠ ０
由于不 相交 条件 ， 所 以分 子分母 不 同时 为零 ， 可 以颠 Ｊ ９ —１ ７ （ ａ ， Ｊ ９ ） （ ， ）
㈩
倒 分子 分母 便 利此处 和 后续命 题解 答 中的分母 都 不
处 达 到最值 ， 其中
，（ ａ ， 卢 ）一 ０ ， 则必 有式 （ １ ） 成 立． （ ， ）一 ０
在 条件 ｆ （ ｘ ， Ｙ ）＝ ＝ ： ０ 及９ （ ｘ 。 ， Ｙ ） 一０ 下 的最值 ． 令
Ｆ— ｄ ３ ＋ １ ｆ （ ｘ １ ， １ ） ＋ ２ ９ （ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） 则由
ｘ ｌ—
ｘ２
一
１
（ ｘｌ ＇ １ ，
一
２
（ ｘ２ ， Ｙ ２ ）
Ｙ ｌ —Ｙ ２
ｆ ｙ 】 （ ｚｌ ， Ｙ ｘ ）
（ ｘ ２ ， ２ ）
且 满足条 件
ｌ
９ （ ｘ ， ） 一０ ． 又（ ａ ， ） 和（ ， ｒ ／ ） 分别 为两 曲线 上 的点 ． 试证 ： 如果 这两 点是 这 两条 曲线 上 相 距 最 近 或 最 远
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ： Ｌａ ｇ ｒ ａ ｎｇ ｅ ｍ ｕｌ ｔ ｉ ｐｌ ｉ ｅ ｒ￣ｃ ｕｒ ｖｅ；ｓ ｕｒ ｆ ａ ｃ ｅ
中央 财经 大学 ２ ０ １ ０年 数学 竞 赛 （ 经济类专业）
有 一道试 题 ， 见 下例 ． 例 已知 两不 相交 的平 面 曲线 ｆ （ ｘ， ）一 ０和
此试 题 可 联想 到 以下 问题 ： 若将 试 题 中关 于两
ｆ Ｆ 一２ （ ｘ ｌ —ｚ ｚ ） ＋
一０
平 面 曲线上 两个 最近 或最 远 的点分 别改 为两个 空 问
Ｉ Ｆ 。 一２ （ ｙ 一ｙ ｚ ） ＋
【 Ｆ ２…
可 得
． 一ห้องสมุดไป่ตู้
曲面 、 一 个空 间 曲面 与一条 空 间 曲线 、 两条 空 间 曲线 上两 个 最近 或最 远 的点 ， 会 有什 么样 的结 论 ？ 下面 给 出相应 的关 系式 及其 证 明． 命题 １ 已知两 空 间 曲面