R( y, z) 0
x0
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和
T (x, z) 0
y0
例
求曲线L：3x2 z
y2 1 y
2
z 《应用数学》精品课程——电子教案
在三个坐标面上的投影曲线
解 消去Z得1-y2=3x2+y2
3x2 y2 1
投影曲线方程
投影柱面方程为3x2+2y2=1
称此方程组为曲线c的一般方程。
x2 y2 z2 5
例4：方程组
z2
表示怎样的曲线？
解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。
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Z a2 x2 y2
例 方程
表示怎样曲线
(
x
a
)2
y2
(a
)2
2
2
解：z x2 y2 表示中心在原点，
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(x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 (x 4)2 (y 5)2 (z 6)2
整理得 4x 4y 10z 63 0
此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：
①坐标平面xOy的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c ③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与 之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b
4.旋转曲面：
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一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定 直
线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，
l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此
时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c
其方程为f(y,z)=0，将c绕
z轴旋转一周，所得到的以z轴
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几种常见柱面：x+y=a 平面；x2 y2 a2 圆柱面；
x2 a2
y2 b2
1椭圆柱面；x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面；x2 2 py 抛物柱面。
以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。
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y
sin
t
z vt MN vt z
x a cos
螺旋线有一个MN重要性t质，当zy从Rsi0n变到0 时，Z由
b0变到b0 b这说明当oM 转过角 时，M 点沿螺旋线
升了高度b，即上升的高度与oM 转过角度成正比。 山东水利职业学院数理化教研室
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三.空间曲线在坐标面上的投影：
为轴的放置曲面的方程为：
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f ( x2 y2 , z) 0
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同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：f (y, x2 z2 ) 0
同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面
f (x, y2 z2 ) 0绕y轴为f ( x2 z2 , y) 0
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3. 球面方程：
①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径
的球面方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
②球面的一般方程：
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
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二.空间曲线及其方程：
1.空间曲线的一般方程：
空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的 方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方
程为 F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得
曲面f (x, y2 z2 ) 0
绕z 轴得曲面 f ( x2 y2 , z) 0
例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，
半顶角为a的圆锥面方程。 z x2 y2ctg
解：将yOz面上的直线z=yctg 整理后得：
绕z轴旋转一周即得圆锥曲面 z2 a2 (x2 y2 )
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L
母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。
此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲
线，简称投影，其方程为H (x, y) 0
同理可得L在yOz面及xOz面上z投影0方程为
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面
解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22
故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
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4.母线平行于坐标轴的柱面方程：
一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹
称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面
的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方 程。
此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲
线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理， G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴 的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某 轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取 何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。
(x
a)2 2
y2
Байду номын сангаас
(a 2
)2
半径为1的上半球面 表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上
半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，
其圆心在( a , 0) ，半径为 a
2
2
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2.空间曲线的参数方程： 设空间曲线方程
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如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组
并有它解出y=（x），Z=Z（x）得
方程组
x x(t)
y
y (t )
z z(t)
称为空间中曲线的参数方程。
例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度
绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向
移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程
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x a cos t 《应用数学》精品课程——电子教案