基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。

答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。

知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。

（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。

需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。

答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

★☆☆练习1．若11,1a a a >+−则的最小值是( )A ．2B ．a C.1a − D ．3 答案：D 解析：由题意知10a −>，★☆☆练习2．若5x >−，则45x x ++的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1答案：A★☆☆练习3．已知52x ≥,则24524x x x −+−有 A ．最大值2 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最小值1答案：D知识点要点总结：整式凑分式分母形式的关键是，既需要调整项的符号，又要配凑项的系数，另外使用均值不等式的条件一正二定三相等是否都满足，不要忘记验证。

（三）“1”的代换【知识点】（1）利用两个量的乘积或和为定值，构造“1”的表达式（2）将所求和“1”的表达式相乘，然后利用均值不等式求解。

（3）若条件式是ax by c +=(a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．【例题讲解】 ★☆☆例1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a +的最小值为( )A ．B ．C ．8D ．9 答案：D解析：0a >，b 2b b a ⎛=+ ⎝2故选D ．★★☆练习2．若(),0,x y ∞∈+且280x y xy +−=，则x y +的最小值为________答案：18★★☆练习3．设 0x >，1y >，且 22x y +=，则 121x y +− 的最小值为 ________ ． 答案：8知识点要点总结：此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。

（四）部分转化【知识点】通过将等式构造形成已知跟所求相类似的形式，寻找其可以使用均值不等式的哪个重要推论，观察新的不等式的两部分，将等式中不需要的那个形式通过不等式转化为所求的形式，利用不等式性质解这个新的不等式即可。

【例题讲解】★☆☆例1．若正数,a b满足3ab a b=++，则ab的最小值是_______ ．答案：9∴≥．9ab★☆☆练习2．若正实数26，满足＋＋＝，则的最小值是________．m n m n mn mn答案：18解析：由26002626＋＋＝，，，得＋＋＋＝，m n mn m n m n mn>>≤知识点要点总结：此类问题的特点是题目给的等式总是和所求量相关，并且可以转化成均值不等式来求解。

解题时注意均值不等式转化的方向，总是把所求量留下，把不需要的那个量消去。

（五）分式同除【知识点】分式函数求最值，一次比二次型，通常用换元法将一次型的分子t 看成一个整体，将分母化成关于t 的二次函数，然后分子分母同除t ，在分母上构造均值不等式求最值。

二次比二次型可以先化简成常数+一次比二次型，再用上面的方法求解。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x y x x =++的最大值；解析：0,94x y x x>== 42x x =，即★☆☆练习1. 已知211,1x x y x x −>=+−求 的最大值。

1,x >511)1x =− 时，等号成立，y 取得最大值★☆☆练习2. 已知1x >，求2233 5x x y x x +−=−+的最大值。

1,x >y=1+4+11x ∴=−）取得最大值知识点要点总结：在解决分式不等问题时，如果所求的是一次比二次，或者二次比二次型，考虑使用分子分母同除分子上的量。

构造出分母上的均值不等式形式，并进行相应求解。

三、一元二次不等式恒成立问题常见一元二次不等式恒成立问题解决策略：1．数形结合法：利用函数图像解决问题；2．参变分离法：注意在分离过程中变量正负及不等号问题；（一）数形结合【例题讲解】★★☆例1. 若−+≥2002390x ax 恒成立,则实数a 的取值范围为________【解析】：由题意知29720a ∆=−≤★★☆例2．若不等式210ax ax ++≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是________。

【答案】[0，4）【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为∅化为所对应图象均在x 轴上方，列出满足的条件即可求实数a 的取值范围．【解答】解：当a ＝0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；当a ≠0时，因为关于x 的不等式ax 2+ax +1≤0的解集为∅，即所对应图象均在x 轴上方， ∴，204a a a >⎧⎫⎪⎪⎨⎬∆=−⎪⎪⎩⎭ 解得0＜a ＜4；综上，满足要求的实数a 的取值范围是[0，4）．知识点总结一元二次不等式在R 上恒成立的条件2222000000000000ax bx c a ax bx c a ax bx c a ax bx c a >>∆<≥>∆≤<<∆<≤<∆≤不等式类型恒成立条件＋＋，＋＋，＋＋，＋＋，(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．（二）参变分离★☆☆例1.已知对于任意的2(12)520x x x a x a <>>或，都有－－＋，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1，5]【解析】： 设()2()22f x x a x a ＝－－＋. 因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有()20)22(f x x a x a >＝－－＋，所以 01250(1)0(5)0a f f ∆≥⎧⎫⎪⎪≤−≤⎪⎪∆<⎨⎬≥⎪⎪⎪⎪≥⎩⎭或解得1445a a <<≤≤或，★★★例2．若对任意的0x >，不等式x 2﹣ax +2＞0恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【分析】把a 分离出来，结合基本不等式即可求解．【解答】解：对任意x ∈（0，+∞），不等式x 2﹣ax +2＞0恒成立，【课后练习】【巩固练习】★☆☆1. 已知3a b +=，且0a ＞，0b ＞，则14a b +的最小值为________ 答案：3★☆☆2. （2014 一中高一（下）6 月月考 12）设 0a >，0b >，且 1a b +=，则 11a b + 的最小值为 ________ ．答案：4备注：1a b +=∴★☆☆3. 若21x y +=，求1+y x y的最小值 答案：4★☆☆4.设0,2a b >>,且3a b +=,则212a b +−的最小值是（ ）A.6B.C. D. 3+答案：D设,2a m b n =−=，且()10,0m n m n +=>>故答案为D★★☆5.已知 0a >，0b >，2a b +=，则 14y a b =+ 的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92D ．5 答案：C即可，本题解题的关键点是把原式变为均值定理形式. 0a >，0b >．又 2a b +=．故选 C★★☆6.已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值________ 答案：()16min x y +=解析：0,x y >>可得4,12x y ==时，()16min x y +=备注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法★☆☆7．若不等式240x ax <＋＋的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【解析】：∵不等式240x ax <＋＋的解集不是空集，∴2244016.4 4.a a a a ∆⨯>>∴><＝－，即或－ 【答案】：(－∞，－4)∪(4，＋∞)【拔高练习】★★☆1.若 0a ≥，0b ≥，且 ()24a a b +=，则 a b + 的最小值为( )A B ．4C ．2D ．答案：C 解析：本题重点考查了基本不等式的应用，应用不等式时，一定要注意“一正、二定、三相等”，等号成立的条件很重要，切勿忽视．因为 0a ≥，0b ≥．所以 20a b +≥．当且仅当 22a a b =+= 时等号成立．所以 2()4a b +≥．所以 2a b +≥．故选 C★★☆2.已知正数 a ，b 满足 230a ab +−=，则 4a b + 的最小值为________ ． 答案：6解析：本题考查了利用基本不等式求最值，正数 a ，b 满足 230a ab +−=，可得 ()39a a b ⨯+=． 变形 ()43a b a a b +=++，利用基本不等式的性质即可得出．正数 a ，b 满足 230a ab +−=． ()39a a b ∴⨯+=．当且仅当 3a a b =+，230a ab +−=，即 22b a == 时取等号． 则 4a b + 的最小值为为 6．故答案为 6．★★☆3.若实数a ，b 满足410(1)ab a b a −−+=>，则()()12a b ++的最小值为________答案：27解析： 410ab a b −−+=，1527(当且仅当备注：先根据410ab a b −−+=求得a 和b 的关系式，进而代入到()()12a b ++利用均值不等式求得答案． 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.解题的关键是配出均值不等式的形式．★★☆4.设正数 a ，b 满足 97ab a b =++，则 ab 的最小值为________ ．答案： 49解析：本题主要是考查由两个变量换成一个变量，即用 b 表示 a ，解出其范围，然后由基本不等式求得 ab 的最小值．本题的关键是把 1b − 看成一个整体，把分子表示成 1b − 的结构a 、b 都为正数且满足 97ab a b =++．a 、b 都是正数．10b ∴−>．故答案为 49．★★★5.已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；★★★6．若正数,x y 满足，20x y xy +−=，则32x y+的最大值为__________． 取得最大值为3★★☆7.若关于x 的不等式220x ax +−>在区间12x ≤≤上有解，则实数a 的取值范围为 ．【解答】若关于x 的不等式2()20f x x ax =+−>在区间[1，2]上无解， 则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩ 即1010a a −≤⎧⎨+≤⎩解得1a ≤−所以实数a的取值范围是(1,)−+∞．【答案】(1,)−+∞．。