高等数学基础作业1第一章 函数 第二章 极限与连续 一、单项选择题 CCBCDCA 二、填空题1、{}3>x x 2、x x -23、e4、e5、0=x6、无穷小量三、计算题1、解：2)2(-=-f 0)0(=f e f =)1(2、解：012>-xx 得：0<x 或21>x所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><210x x x 或 3、解：设梯形的面积为y ，高为x ，则：xR x R x x R x R y +-=+-=2222)22(21（R x <<0） 4、解：2311232sin 233sin 23lim 2sin 3sin lim 00=⨯⨯=⋅=→→x x x x x x x x5、解：2)2(1)1()1sin(1lim )1sin(1lim121-=-⨯=-⋅++=+--→-→x x x x x x x 6、解：31133cos 133sin 3lim 3tan lim00=⨯⨯=⋅⋅=→→xx x x x x x7、解：x x x sin 11lim 20-+→=)11(sin )11)(11(lim 2220++++-+→x x x x x =)11(sin lim 220++→x x x x=)11(sin lim20++⋅→x xx x x =01⨯=0 8、解：xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→31lim =xx x x x )31()11(lim +-∞→=∞→--∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+x xx x x x 331)311(lim ])11[(lim =31e e -=4-e 9、解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x10、解：1)21()(lim 21=-=+→x f x Θ 1)(lim 1=-→x f x1)(lim 1=∴→x f x 又1)1(=f Θ )()(lim 1x f x f x =∴→所以：)(x f 在1=x 处连续1)(lim 1-=+-→x f x Θ 0)(lim 1=--→x f x )(lim )(lim 11x f x f x x -+-→-→≠∴所以：)(x f 在1-=x 处不连续综上所述，)(x f 在1-=x 处不连续，在其它地方都连续。

第三章 导数与微分 一、单项选择题 BDADC 二、填空题1、02、x x x 5ln 2+3、214、1=y5、)1(ln 2ln 2+x exx 6、x1 三、计算题1、求下列函数的导数'y ：（1）解：'y =x x x e x x x e x x e x )323()3(2321++=++ （2）解：'y =x x x x xx x x x ++-=⋅++-ln 2csc 1ln 2csc 222 （3）解：'y =xx x x xx x x x 222ln ln 2ln 1ln 2-=⋅-（4）解：'y =462323cos 32ln 2sin 3)2(cos )2ln 2sin (x x x x x xx x x x x x x x ⋅--+-=+-+- （5）解：'y =xx x x x x x x x xx x x x x 22222sin cos )(ln sin )21(sin cos )(ln sin )21(---=--- （6）解：'y =x xx x x x x x x x sin 1ln cos 4)sin 1ln (cos 433--=+-（7）解：'y =xx x x x x x x x x x x 33ln 3ln sin 2cos 33ln 3)(sin 3)2(cos 222--+=+-+（8）解：'y =xx e x e x x 1sec tan 2++ 2、求下列函数的导数'y ： （1）解：'y =xexe xx221=⋅（2）解：'y =x x xtan )sin (cos 1-=-⋅ （3）解：87x x x x y ==所以：'y =8187-x（4）解：'y =x x x 2sin cos sin 2= （5）解：'y =2cos 2x x （6）解：'y =xx e e sin - （7）解：'y =nx x n nx x x n nx x n nx x x n n n n n sin sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin 11-=-+--(8) 解：'y =5ln cos 5cos 5ln 5sin sin x x x x=⋅ (9) 解：'y =x e x ex xsin )sin (cos cos -=-3、在下列方程中，)(x y y =由方程确定的函数，求'y ： （1）解：'2'2)sin (cos y e x y x y y⋅=-+ 得：'y =yex xy 22cos sin - （2）解：y xx y y y cos 1ln sin ''+-= 得：'y =)ln sin 1(cos x y x y + （3）解：2'2'2cos 2sin 2y y x xy y xy y -=+ 得：yxy x y y xy y cos 2sin 22222'+-= （4）解：''11y yy ⋅+= 得：1'-=y yy（5）解：''21yy y e xy =+ 得：)2(1'ye y x y -=（6）解：y y e y e yy xxcos sin 2''+= 得：ye y ye y xx cos 2sin '-= （7）解：'2'3y y e y e xy-=⋅ 得：2'3ye e y y x+= （8）解：2ln 25ln 5''y y yx+= 得：2ln 215ln 5'yx y -= 4、求下列函数的微分dy ：（1）dx x x x dy )cot csc csc (2--=（2）dx xx xx x x dx x xx x x dy 22sin cos ln sin sin cos ln sin 1-=-= （3）xdx xdx x dy 2sin cos sin 2== （4）dx e e dy xx2sec = 5、求下列函数的二阶导数：（1）21'21-=x y 所以：23"41--=x y（2）3ln 3'x y = 所以：3ln 32"x y = （3）x y 1'=所以：2"1xy -= （4）x x x y cos sin '+= 所以：x x x x x x x y sin cos 2sin cos cos "-=-+= 四、证明题证明：是奇函数)(x f Θ )()(x f x f -=-∴)(x f Θ可导 '')]([)]([x f x f -=-∴ 即 ：)()(''x f x f -=--， )()(''x f x f =-∴所以：)('x f 是偶函数第四章 导数的应用 一、单项选择题 DCACCA 二、填空题1、极小2、03、)0,(-∞4、()+∞,05、)(a f6、()2,0 三、计算题1、解：)5)(1(315183)5(2)1()5(22'--=+-=-⋅++-=x x x x x x x y 令0'=y ，得：11=x 52=x所以：单调增加取间为：()1,∞-和()+∞,5；单调减少区间为：()5,1 ； 点1=x 是极大点，相应的极大值是32；点5=x 是极小点，相应的极小值是0。

2、解：)1(222'-=-=x x y 令0'=y ，得：1=x 列表如下：而且3)0(=f ，6)3(=f所以：点1=x 是函数的极小点，相应的极小值是2；函数最大值是6)3(=f ，最小值是2)1(=f3、解：设曲线x y 22=上的点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛y y ,22，它到点)0,2(A 的距离为：44)22(24222+-=+-=y y y y d 4422243'+--=y y y y d 令0'=d ，得：0=y 或2±=y当0=y ，2=d ； 当2±=y ，3=d23<Θ)2,1(±∴到点)0,2(A 的距离最短。

4、解：设底半径为r ，表面积为V ，则：222r L r V -=π223222222'32)2(212rL r rL r rL rr L r V --=--+-=ππππ令0'=V ，得：63322LL r == ，此时，高3322L r L h =-= 所以：当底半径为63L ，高为33L时，圆柱体的体积最大。

5、解：设底半径为r ，表面积为S ，则：2222222r r Vr rV r S ππππ+=+=r rVS π422'+-=令0'=S ，的：32πV r = ，此时，高324ππV r V h == 所以：当底半径为32πV ，高为34πV 时，表面积最小。

6、解：用料最省即为长方体的表面积最小。

设底面边长为x 米，表面积为2米y ，则：2222505.624x x x x xS +=+= 则 x xS 22502'+-= 令0'=S 得5=x 所以：当底面边长为5米时，长方体表面积最小，即用料最省。

四、证明题1、证明：在区间[]x +1,1上对函数x x f ln )(=应用拉格朗日定理，有x x ξ11ln )1ln(=-+ ，其中x +<<11ξ ，故11<ξ，于是由上式可得：x x <+)1ln( 即：)1ln(x x +>2、证明：在区间[]x ,0上对函数xe xf =)(应用拉格朗日定理，有x e e e x ξ=-0 ，其中x <<ξ0 ，故1>ξe ，于是由上式可得： x e x >-1 ，即1+>x e x第五章 不定积分 第六章 定积分及其应用 一、单项选择题 DDBBBD 二、填空题 1、⎰dx x f )( 2、c x G x F +=)()( 3、dx e x 24、c x +tan5、x 3cos 9-6、37、1> 三、计算题1、解：原式=c xx d x +-=-⎰1sin )1(1cos 2、解：原式=⎰+=c ex d e xx2)(23、解：原式=⎰+=c x x d x )ln(ln )(ln ln 14、解：原式=[]⎰⎰⎰++-=+-=--=-c x x x x xd x x xdx x x x xd 2sin 412cos 21)2(2cos 412cos 212cos 2cos 21)2(cos 215、解：原式=⎰+e x d x 1)(ln )ln 3(=⎰++e x d x 1)ln 3()ln 3(=ex 12)ln 3(21+=298-=2176、解：原式=)(21210x e xd -⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰--10210221dx e xe x x =⎰-+-10222121dx e ex=⎰----1022)2(4121x d e e x =10224121x e e ---=)11(412122---e e =41432+-e 7、解：原式=⎰e x d 12)(ln 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎰e e dx x x x x 12121ln 21=⎰-e xdx e 122121=ex e 1224121-=)4141(2122--e e =41412+e 8、解：原式=⎰-ex xd 1)1(ln =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--⎰e edx x x x x 1111ln 1=dx x e e ⎰+-1211=ex e 111--=)11(1---e e =12+-e四、证明题1、证明：)(x f Θ为奇函数 )()(x f x f -=-∴⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(对于积分⎰-0)(adx x f ，令t x -=，则dt dx -=⎰-0)(adx x f =⎰--0))((adt t f =⎰-adt t f 0)(=⎰-adt t f 0)(=⎰-adx x f 0)(因此：⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(=02、证明：参考课本P344 例5。