三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2

RB

Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
拼凑）。
28
[例7]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。
P q
Pa 2

qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2 +
x
29
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
MO
YO YO
MO
L
P
解：①求支反力
Q(x) M(x)
x
YO P ; MO PL
②写出内力方程
Q(x) M(x)
–PL
P
Q( x ) YO P
x M( x ) YOx MO
x
P( x L )
③根据方程画内力图
17
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2

q(x)
19
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
Q 图
Q
Q
斜直线
Q
Q
自左向右突变
Q Q1
无变化
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–
C x
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角 自左向右突变
8
x C点右： Q qa ; M 1 qa2
2
2
右端点D： Q


1 2
qa
;M
0
23
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
0.5PL
32
§4–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。
2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
解：求支反力
RA

qa 2

;
RD

qa 2

左端点A：
Q qa ; M 0 2
x
B点左： Q qa ; M 1 qa2
2
2
B点右： Q qa ; M 1 qa2
2
2
C点左： Q qa ; M 1 qa2
M 的驻点：Q

2 0; M


3
2 qa2
M(kN·m)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
于该点处荷载集度的大小。
18
mA(Fi) 0 ,
Q(x)dx

1 2
q( x)(d x)2

M
(x)

[M
(x)

dM
(x)]

0
dM (x) dx

Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算5。
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
L P
L PL
L
P Q1 0.5P +
– P
x –
0.5P Q2
0.5P x
–
0.5P
0.5P 31
P
M
PL
PL
+
x
0L
L P
P M1
0.5PL
+
x
0.5P L 0.5P L
L PL
0.5P M2 0.5PL
+
x
–
L
0.5P
14
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2

M2

1 2
q(x2

a)2

0
M2

1 2
q(x2

a)2

qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
O
x
A
2PR
O
+
Q图
M图
B N图
–
+
O
PO
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。