第一章渐开线圆柱齿轮传动§1-1 齿轮的基本概念一．齿轮的分类及用途齿轮是机械中常用的一种零件，它的用途传递动力或传递运动。

通常齿轮同时起着这两种作用，但有主次之分。

有些齿轮以传递动力为主，如各种减速机、变速器中的齿轮；有些齿轮以传递运动为主，如机床中的分度齿轮。

常用的齿轮按其轮廓外形不同可分为三类：1．圆柱齿轮其轮廓外形是圆柱形。

按其牙齿的直斜不同，又可分为：1）直齿圆柱齿轮，简称直齿轮；2）斜齿圆柱齿轮，简称斜齿轮。

在这类齿轮中，有两种特殊变态形式：1）齿条齿数为无穷多的齿轮，其渐开线由曲线演变成直线，其外形由圆柱形演变为长条形，其运动由转动演变为直线移动。

2）蜗轮副斜齿轮的变态。

2．圆锥齿轮其轮廓外形是圆锥形。

按其牙齿的直斜不同，又可分为：1）直齿圆锥齿轮；2）弧齿圆锥齿轮。

以上两类齿轮，常用于平行轴或交叉轴之间作等速传动。

所谓等速传动是指当主动轮匀速转动时，被动轮也作匀速转动，不考虑传动的运动误差。

3．非圆齿轮这类齿轮的轮廓外形不是圆的，如椭圆。

它们用于不等速传动。

二．齿轮传动的特点1．在传动过程中，瞬时传动比稳定，传递运动准确可靠；2．适用的功率和速度范围广泛；3．传动效率高，使用寿命长；4．与其它传动相比，在传动相同的功率情况下，尺寸小，结构紧凑。

三．齿轮传动的局限性1．不适于传递轴间距长的运动；2．传递直线运动不如液压平稳；3．制造成本较高，特别是高速、精密的齿轮。

四．齿轮的传动类型1．两轴线平行的传动：直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮。

2．两轴线交叉或交错：直齿伞齿轮、螺旋齿伞齿轮，蜗轮副。

§1-2 齿廓啮合的基本定律一对齿轮的传动比是主动轮的角速度ω1与从动轮角速度ω2之比，通常用i 12表示，即一对齿轮的传动比是否恒定，取决于相互啮合的两个轮齿齿廓曲线的形状。

图1.2.1 定传动比传动的条件图1.2.1 表示齿轮1的齿廓C 1和齿轮2的齿廓C 2相互啮合，两齿廓在K 点相切，tt 是两齿廓的公切线，K 点称为啮合点。

过啮合点K 作两齿廓的公法线NN （与tt 相垂直），与两齿轮的连心线O 1O 2相交与P 点。

设两轮的瞬时转动角速度各为ω1和ω2，向量半径为r k1和r k2，则，齿廓C 1在K 点的线速度为其方向垂直于向量半径O 1K 。

齿廓C 2在K 点的线速度为其方向垂直于向量半径O 2K 。

两齿廓在接触传动时，沿公法线NN 方向的分速度应该相等，即v 1N = v 2N 。

若v 1N ＞v 2N ，则齿廓C 1将嵌入齿廓C 2中；若v 1N ＜v 2N ，则齿廓C 1与齿廓C 2相离，2112ωω=i 111K r v •=ω222K r v •=ω这两种情况都是不允许的，所以即从O 1和O 2各作公法线NN 的垂线，分别与NN 交于N 1和N 2，在△O 1N 1K 和△O 2N 2K 中：因此得即又由于 △O 1PN 1 ∽ △O 2PN 2 则所以上式表示了齿廓啮合的基本定律，即两齿轮转动角速度比（传动比i 12）等于其中心连线O 1O 2被齿廓啮合点的公法线分成的两段（O 2P 和O 1P ）的反比。

这里表达的速比仅指两齿廓在K 点啮合的那一瞬时的传动比。

如果希望传动比在任何瞬时都是定值，则必须使比值O 2P / O 1P 保持不变。

由于P 点是中心线上的一点，中心距O 1O 2保持不变，显然，为了得到定传动比，在啮合过程中必须保证P 点固定不动。

如果P 点在啮合过程中不能保持不动，则不能构成定传动比的条件。

如果采用的齿廓曲线能使两齿廓在任何位置啮合时，其公法线都通过中心连线上的定点P ，则其任何瞬时传动比都为定值。

此时，定点P 称为节点，以O 1、O 2为圆心，过节点P 所作的圆称为节圆，节圆半径O 1P 和O 2P 分别以r 1′和r 2′表示，即由此可知，两节圆在节点P 处的圆周速度相等、方向相同。

两轮在啮合过程中沿节圆2211cos cos K K v v αα=222111cos cos K K K K r r αωαω=22221111cos cos K K K K r N O r N O αα==222111N O N O ωω=11222112N O N O i ==ωωPO PO N O N O 121122=PO PO N O N O i 1211222112===ωω'22'112211r r P O P O ωωωω==21P P v v =柱作纯滚动。

若使两齿廓的瞬时传动比保持恒定不变，则齿廓形状不能任意选取。

如果给出了一个齿廓的曲线，那就应该按照公法线通过定点P的原则，求出与其啮合的另一齿廓的曲线。

这样的齿廓称共轭齿廓，这个齿廓曲线称共轭曲线。

能够实现定传动比的齿廓曲线无限多，因为可以根据给出的一个齿廓的曲线去求得其共轭曲线。

但是，在选取齿轮的齿廓曲线时，必须考虑一些其它因素，如，这种曲线是否易与精确加工、承载能力是否强、耐磨性能是否好、加工和装配误差对传动质量的影响是否大等等。

用渐开线作为齿廓曲线的齿轮制造容易、安装方便、互换性好，所以应用最广。

另外，在计时仪表及油泵中多采用摆线齿廓的齿轮，因为摆线齿轮的耐磨性好，且齿数可以很少。

在重载传动中，也有采用圆弧和变态外摆线等作为齿廓曲线。

§1-3 渐开线及其基本性质一．渐开线的形成渐开线齿轮牙齿的两侧齿廓是由两段对称的渐开线组成。

当一直线L沿一半径为r b圆的圆周作纯滚动，该直线从位置Ⅰ顺时针滚动到位置Ⅱ时，直线上的任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线。

该圆称为渐开线的基圆，直线L称为该渐开线的发生线。

二．渐开线的基本性质分析渐开线的形成过程（图1.3.1），可知渐开线有以下几个重要性质：位置Ⅱ位置Ⅰ）图1.3.1 渐开线的形成图1.3.2同一基圆的两条渐开线图1.3.3 渐开线齿廓的压力角法线间距离相等1．直线长BK = 弧长AB；2．BK是基圆的切线，也是K点的法线；3．同一基圆所产生的两条渐开线，彼此之间法线距离相等（图1.3.2）；4．渐开线上各点的曲率半径不等。

渐开线上越近基圆的部分，曲率半径越小，曲率越大，即渐开线越弯曲；离基圆越远的部分，曲率半径越大，曲率越小，即渐开线越平坦。

5．渐开线的形状取决于基圆的大小。

只有在基圆大小相同时才能有完全相同的渐开线。

6．发生线沿基圆作纯滚动时，在转过同样的φ角时，其上一点描绘的渐开线弧长随着渐开线向外延伸而逐渐增大。

即弧长K 3K 4＞弧长K 2K 3＞弧长K 1K 2……（图1.3.2）7．基圆内无渐开线。

三．渐开线齿廓的压力角当一对渐开线齿廓C 1和C 2相互作用时（图1.3.3），在从动轮渐开线齿廓C 2上所受正压力P 的方向沿着接触点K 的法线方向（不考虑摩擦），即图示KB 方向。

受力后，从动轮绕O 轴转动，渐开线齿廓C 2上的K 点速度v 的方向与OK 垂直。

这个压力方向与速度方向之间的夹角αx 就是渐开线齿廓上任意点K 的压力角。

从图中看出，OK 与OB 之间的夹角就等于αx ，在△OBK 中由于基圆半径r b 不变，所以渐开线齿廓上的各点压力角随r x 的变化而变化，即渐开线齿廓上各点的压力角不等。

当K 点远离中心O ，即r x 增大，αx 随之增大；当K 点越接近基圆，即r x 越小，αx 越小；当K 点在基圆上时，r x 等于r b ，αx 等于零。

四．渐开线的数学方程式渐开线上任意点K 的位置可用极坐标（r x ，θx ）表示（图1.3.3），r x 为渐开线上任意点的向径，θx 为渐开线上任意点的渐开角。

渐开线极坐标方程式为：§1-4 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸xbx r r =αcos xx x x bb x x bx x bx tg tg r KBr AB AOB r AM r r ααθααθθα-=∴===∠=+==cos xx x xbx tg inv r r αααα-==cos为设计和制造齿轮，必须确定齿轮的基本参数和几何尺寸。

一．齿轮的基本参数齿轮的基本参数为：齿数Z 、模数m 、压力角α、齿高系数h*、径向间隙系数c*。

1．齿数z 即齿轮牙齿的数目。

它是根据齿轮的传动速比要求确定的。

2．模数m 模数是为计算齿轮尺寸设定的一个重要参数。

其意义如下：在齿轮的齿顶圆和齿根圆之间取一个直径为d 的圆，称其为分度圆（简称分圆），若将相邻两齿的同侧齿廓沿分圆圆周的弧长称为分圆齿距p ，则有分圆周长得到下式：所以式中Z 为齿数，圆周率π是无理数。

若齿距p 取有理数，则计算出的分圆直径d 也将是无理数，这不但使计算繁琐和不精确，也给制造和检查带来麻烦。

因此，在实际应用中，取分齿距与圆周率π之比作为一个基本参数，使其比值为有理数，并以模数m 表示，单位为毫米。

齿轮模数已经标准化，国家标准GB1357-87《渐开线圆柱齿轮 模数》中对渐开线圆柱齿轮的模数作了具体规定。

在采用英制单位的国家，用径节DP 作为计算齿轮尺寸的基本参数。

径节DP 是齿数Z 与分度圆直径d 的比值。

即：模数m 与径节DP 的关系为：与模数已经标准化一样，径节也标准化了。

3．压力角α 渐开线齿廓上各点的压力角是不相等的，通常所说的齿轮压力角是指齿轮分圆上的压力角。

与模数一样，压力角也标准化了。

齿轮常用的压力角是20°，还有14.5°，15°，17.5°，22.5°，25°和30°等。

4．齿高系数h* 在GB1356-78中规定了两种齿高系数标准值：正常齿h*=1，短齿h*=0.8。

5．径向间隙系数c* 在GB1356-78中，对于m ≥1的圆柱齿轮，规定c*=0.25m 。

考虑到有些加工方法的需要，允许增大到c*=0.35m 。

zpd =ππpzd =zdpm ==π)1(inchp d z DP π==)(4.251mm DPm ⨯=二．外啮合齿轮传动的几何尺寸计算在齿轮的基本参数确定后，齿轮的各部分尺寸就基本上确定了。

1．分圆直径d 、分圆齿距p 和分圆齿厚s2．齿轮的基圆直径d b 和基节p b3．齿顶高h a 和全齿高h 过轮齿顶部的圆称为齿顶圆d a ，过齿槽底部的圆称齿根圆d f 。

齿顶高h a 是指轮齿在分圆和齿顶圆之间的径向高度；齿全高h 是指轮齿在齿顶圆和齿根圆之间的径向高度。

在国家标准GB1356-88《渐开线圆柱齿轮 基本齿廓》中，对以上参数作了如下规定。

式中 径向间隙系数c=0.25m 。

标准中心距a 两个标准直齿圆柱齿轮相互啮合的中心距称为标准中心距a ，它等于两齿轮的分圆半径之和，即：这里所说的标准直齿圆柱齿轮是指模数m ，压力角α，齿高系数h*及径向间隙系数c*都是标准值，分圆齿厚和齿槽宽相等。