t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
拉普拉斯变换
1. 单边拉普拉斯变换的定义
L[ f (t)] F (s) f (t)e-st dt 0-
2、单边拉普拉斯变换的收敛域
jw
拉普拉斯变换存在的充分条件为：
f (t)e-s t dt 0-
s R
F (s)的ROC 为：s s 0
s0 0
收
敛
域
s
基本信号的拉普拉斯变换
elt u(t) （l为复常数）
L[eltu(t)] elte-st dt 1
0-
s-l
Re(s) Re(l)
1
L[u(t)] Re(s) 0
s
e jw0tu(t)
1
s - jw0
L[cos w 0t
j sin w0t]
s
1
- jw0
s jw0
s2
w
2 0
L[cos(w0t)u(t)]
s
ห้องสมุดไป่ตู้s2
w
2 0
Re(s) 0
F(s) A B
sa s b
A F(s)(s a)
s-a
1
-a b
B F(s)(s b )
s-b
1
- b a
f (t) 1 (e-at - e-bt )u(t)
-a b
5)频域位移----指数加权特性 （s-domain shift）
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)
sin 0
t
0 t 其它
的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
1 s2
L[t
2u(t
)]
-
d ds
(
1 s2
)
2 s3
L[t nu(t)]
n! s n1
L[t ne-ltu(t)]
n!
(s l)n1
Re(s)>-l
例：已知f1(t)=u(t)-u(t-1), f2(t)=u(t-2)-u(t-4) 计算：y(t)=f1(t)f2(t)
F1
(s)
1
- es
则有 e-lt f (t) L F (s l) Re( s) s 0 - l
证：L[e-lt f (t)] f (t)e-(ls)tdt F (s l) 0
L[e-lt
cosw0t
u(t )]
(s
sl
l)2
w
2 0
Re(s) -l
6) 线性加权性质---s域微分
（differentiation in the s-domain）
( 0
f1( ) f2 (t - )d )e-st dt
0
f1( )( 0
f2 (t - )e-st dt) d
0
f1( )F2 (s)e-s d
F1(s)F2 (s)
例：利用拉氏变换计算f(t)=e-a tu(t)e-b tu(t) a b
L[ f (t)]
1
(s a)(s b )
a1 f1 (t ) a 2 f 2 (t ) L a1 F1 ( s ) a 2 F2 ( s )
Re( s) max( s 1 ,s 2 )
例：求信号f(t) = u(t)-u(t-1)的Laplace变换。
1- e-s F(s)
Re(s) -
s
2)展缩特性（time scaling）
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2
w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)
若 则有
f1 (t ) L F1 ( s) f 2 (t ) L F2 ( s )
Re( s) s 1 Re( s) s 2
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
s
e-2s - e-4s
F2 (s)
s
Y (s)
(1- e-s )(e-2s s2
- e-4s )
e-2s
-
e-4s
- e-3s s2
e-5s
y(t) (t - 2)u(t - 2) - (t - 3)u(t - 3) - (t - 4)u(t - 4) (t - 5)u(t - 5)
若 f (t) L F(s) Re( s) s 0
则有
tf (t)L- dF(s) ds
Re(s) s 0
证：- F (s) - f (t)e-st dt 0-
- dF(s) tf (t)e-stdt L[tf (t)]
ds
0-
例： L[u(t)] 1 Re(s)>0 s
L[tu(t)] - d (1) ds s