数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
1.2问题分析：各系的人数将影响着各系所获得的席位名额。
人数越多的系获得的席位名额越多，人数越少的系获得的席位名额越少。
席位名额的分配是按照各系人数与各系总人数的比例来进行分配的。
各系名额的比例与各系人数的比例几乎相等。
这是一个分配问题，关键在找到最公平的席位分配方案。
1、模型的公平定义是相同的。
2、模型所要求的公平是绝对的公平。
3、模型不考虑各系自身的要求。
4、分配到各系的名额数目均为整数。
三、符号说明N：表示名额数S：表示系数i(i=1,2,3,...):表示第i个系m i(i=1,2,3...):表示各系中的人数X i(i=1,2,3...):表示各系所获得的席位数4.1公平的定义：设：A 方人数1p 人，若分配给1n 个席位，则每席代表人数11n pB 方人数2p 人，若分配给2n 个席位，则每席代表人数12n p则公平的定义为：若：有2211n p n p =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。
即有不公平的定义为：若有：2211n p n p ≠，则席位分配时不公平的 此时，若有：2211n p n p > 对A 不公平（A 吃亏）若有：2211n p n p < 对B 不公平（B 吃亏）4.2不公平程度的表示：用数值：||2211n p n p -来表示绝对不公平的程度 4.3相对不公平数的定义：若2211n p n p >，则称),(1121122122221n n r n p n p n p n p n p A =-=-为A 的相对不公平数，记为),(21n n r A。
即:对A 的相对不公平度为：1),(122121-=n p n p n n r A （1） 同样，若：2211n p n p <，则称1),(211211112221-=-=n p n p n p n pn p n n r B （2） 为对B 的相对不公平度。
定义了分配不公平的相对不公平程度数是指标A r 和B r之后，则由此定义出发来制定席位的分配方案原则，即要是A r 和B r尽可能的减少。
4.4模型一的建立：（比例分配模型）比例分配模型：按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。
若计算所得的席位数含有小数时则按照四舍五入进行取整。
由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得：∑=31iii m m NX即可得各系所获得的席位数位：Nmm X iii *31∑=（3）4.5模型二的建立：（d'hondt 模型和Q 值模型）可将具备参与分配至少一个名额的条件称为“分配资格”。
这一“分配资格”在社会经济现象中并不少见，如有的国家规定参加议会选举的党派的党员人数需要达到一定的数量才行。
用d'Hondt 方法和Q 值法二者结合起来，确定“分配资格”以解决“不公平”问题。
这一方法，称为“d'Hondt 方法+Q 值法”。
具体方法如下：1）第一个人数给人数最多的部门，甲部门 2）根据d'Hondt 方法中x m值，依次确定第2,3...个名额的“分配资格”部门，直到已有两个部门有3）下面每增加一个名额，则重复如下的步骤，直至丙部门具有“分配资格”为止。
不失一般性，设)1/()1/(21+>+X m X m 乙甲，其中，m,n 分别为已分配给甲、乙的名额。
A ）如果1/)1/()1/(21丙乙甲m X m X m >+>+名额给甲还是给乙。
B ）如果)1/(1/)1/(21+>>+X m m X m 乙丙甲，且甲部门的Q 值比乙部门的Q 值大，这一名额给丙，根据D 法，这一名额都应给甲。
如果)1/(1/)1/(21+>>+X m m X m 乙丙甲，且乙部门的Q 值比甲部门的Q 值大，这一名额给丙。
理由是：此时，)1/(1/)1/(21++X m m X m 乙丙甲、、必定相差不大，若这一名额无论给甲或者乙，丙部门还是一个名额都没有，对并部门严重不公平。
当丙部门也具备分配资格时，余下名额则按Q 值法分配需要说明的是，仅是Q 值法时，先假设各部门已经有一个名额，接着计算剩下的第4~21个名额的分配方案，因此不难看出，D+Q 法中Q 值应采用修正式：根据D+Q 值法分配结果如下:1）第一个名额给甲部门 2）1/2/1/丙甲乙m m m >>,第二个名额给乙部门3)1/2/2/丙乙甲m m m >>丙部门仍无分配资格，根据Q 值法，第三个名额给甲 4）2/1/3/乙丙甲m m m >>且同时乙方的Q 值比甲方的Q 值大，因此，第四个名额给丙方5）当名额数大于4时，由于甲、乙、丙3部门都已具有分配资格，则第5~21个名额可利用Q 值法分配余下的名额。
按此方法列出21个名额分配的方案，甲、乙、丙3部门各分得11、6、4个席位名额。
五、模型求解5.1模型一求解：5.2模型二的求解： 计算x m /数据可得到如下表格：Q 值计算公式：)1(2+=i i m Q i i 3,2,1=i)1,1,2(321===X X X当席位名额为21时，甲、乙、丙3个系各得11、6、4个席位名额。
六、模型分析与检验6.1模型一的分析与检验：当席位名额为20个时：33112243410103663n p n p n p >>>>即根据公式（2）可得：%85.4),(21=n n r B当席位名额为21时：22113376*********n p n p n p >>>>即根据公式（1）可得：%4),(21=n n r A6.2模型二的分析与检验：当席位名额为20时：11223311103663334n p n p n p >>>>即 由公式（2）可得%12),(21=n n r B当席位名额为21时：33112243411103663n p n p n p >>>>即 由公式（2）可得%12),(21=n n r B七、模型的评价：7.1、优点：模型比较简单却较合理的解决了实际问题，用比例模型和D+Q值法模型就解决了席位的公平分配问题。
由相对不公平值的计算比较可知两种模型的公平程度都还比较符合要求。
模型一计算过程简单却是公平度比较高的一种模型，操作起来比较简便。
模型二可以避免所得席位名额含有小数点的情况。
7.2、缺点：模型一的建立比较简单，计算的结果含有小数点，通过四舍五入所得的结果会使公平性变差。
模型二的建立相对比较复杂，计算过程比较繁琐，最后得到的结果的公平性相对较差。
7.3、改进方向：应考虑向公平性更高的模型进行考虑。
运用更精确的模型使得得到的结果既不含有小数点，计算过程又不是太复杂，公平性又是相对比较强的。
八、模型优化由于以上模型都是站在绝对公平的角度上来解决席位的公平分配问题。
实际上，每个系自身对席位的意愿不同。
可以考虑征求各系自身的意见来分配席位以做到席位的公平分配。
有时候由于会议内容的不同会导致各个系所需的席位不同，这个因素并没有考虑进去。
可以考虑不同的会议按不同的指标进行席位的分配。
有时也可以通过适当的增加席位数或者减少席位数使席位公平分配问题得到比较好的解决。
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