名额公平分配问题
问题的提出
名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。

’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。

并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。

下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。

设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。

现有25个学生代表名额，
赢如何分配较为合理。

5个系的学生人数
系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设
1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生
代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在
名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。

2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。

3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成
整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。

名额占有率=总名额数÷总人数
名额占有量=名额占有率×学生数
模型建立
模型一名额占有率分配
=1%，即每一百人才有一个名额。

根据名额占有率可以算出全校名额占有率=25
2500
分配：
系别一二三四五总和
人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124
显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分，
无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。

所以需
要改进。

模型二Hamilton 方法
1790年，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·哈密尔顿（Hamilton）提出
了一种解决名额分配的办法，并于1792年被美国国会通过。

Hanilton方法的操作过程
如下：
（1）、先让各州获得份额q i,的整数部分[q i];
（2）、令r i=q i−[q i],按照r i由大到小的顺序将剩余的名额分配给相应的各州，知
道各州名额分配完为止。

按照Hamilton的方法对25个名额分配如下表：
系别一二三四五总和
人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124可以看出在第二个和第四个系别分配时，名额只有一个，小数相等。

如果都不分配，名
额就有剩余，如果都分配，名额总数不够用。

由此看出，Hanilton的方法仍然存在缺陷。

需要进一步的改进。

模型三Huntington-HILL算法
定理：在席位分配方案（n i,n j）的基础上，在增加一个席位，方案（n i+1,n j）优
于（n i,n j+1）,当且仅当Q i>Q j,其中
Q i=i
n i(n i+1)
名额分给Q值最大的那个单位。

模型求解
由模型一、二可知名额占有率为1%，计算各系名额占有量如下图：
系别一二三四五总和
p人数11056483622481372500 n名额占有量11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725 [n]整数部分11632123这样，先把23个名额分配到各系别，接下来，第24个名额和第5个名额用Q值方法
进行分配。

对于第24个名额，计算得：Q1=1105^2/ (11*12)=9250.189
Q2=648^2/(6*7)=9997.714
Q3=362^2/(3*4)=10920.333
Q4=248^2/(2*3)=10250.667
Q5=137^2/(1*2)=9384.500
比较可知，Q3最大，所以第24个名额给系别三。

对于第25个名额，计算得：Q1=1105^2/ (11*12)=9250.189
Q2=648^2/(6*7)=9997.714
Q3=362^2/(7*8)=2340.071
Q4=248^2/(2*3)=10250.667
Q5=137^2/(1*2)=9384.500
比较可知，Q4最大，所以第25个名额应该给系别四。

分配的最终结果是：系别一：1个；别二：6个；系别三：4个；系别四：3个；系别五：1个。

模型评价
名额分配问题的关键在于建立既合理又简明的衡量公平程度的指标。

占有率相等是一种理想化的状态，在实际生活中是十分罕见的。

在不公平的情况下，相对不公平度比绝对不公平度更加准确的反应不公平的实质。

Q值的方法以相对不公平度为前提，将名额分给Q值最大的一方，是相对公平的。

1982年，Balinsky和young的研究表明：不存在即能避免所有席位的悖论同时又满足份额法则的席位的分配方法，这就是有名的席位分配不可能定理。