量 子 力 学 习 题（三年级用） 北京大学物理学院二O O 三年 第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a ；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikrikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。

3、若(),Be eA kx kx-+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ=/6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x 2=3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数5、求粒子在下列位场中运动的能级6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态， （1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的22xp ,x ∆∆，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量1、若())z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ=22221 证明：,xVi ]P ,H [x ∂∂=η2、设[]q )q (f ,i p ,q 是η=的可微函数，证明（1）[],ihpf )q (f p ,q 22=（2）[];f p i)q (f p ,p '=22η3、证明4、如果，B Aˆ,ˆ是厄密算符 （1）证明()[]B ˆ,Aˆi ,B ˆA ˆn+是厄密算符；（2）求出B ˆAˆ是厄密算符的条件。

5、证明：6、如果B ,A 与它们的对易子[]B ˆ,Aˆ都对易，证明 （提示，考虑(),e e e)(f B ˆA ˆB ˆAˆ+λ-λλ⋅⋅=λ证明[]f B ,A d dfλ=λ然后积分） 7、设λ是一小量，算符1-A ˆAˆ和存在，求证 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明从而证明：⎰δ=τij nj x ni d xu p u i 2η9、一维谐振子处在基态求： （1）势能的平均值;X m A 2221ω=（2）动能的平均值;m /P T x 22= （3）动量的几率分布函数 其中ηω=m a 10、若证明,iL L L y x ±=±(1) ±±±=L ˆ]L ˆ,L ˆ[z η (2) 11++=lm lm Y C Y L ˆ(3) ()--+++=-L ˆL ˆL ˆL ˆL ˆL ˆy x 212211、设粒子处于),(Y lm ϕθ状态，利用上题结果求22y x l ,l ∆∆12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ∆随时间的变化为：（注：自由粒子2x x P ,P 与时间无关）。

第五章 变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。

2、对于球方位势试给出有0=l n 个的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。

4、证明5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域()0〈=-T V E 的几率。

6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V 其中，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：其中，e Z '表示原子实的电荷，0>A ，证明，电子在原子实电场中的能量为而l δ为l 的函数，讨论l δ何时较小，求出l δ小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量的能级为)(n E 0，试用Hellmann Feynmen -定理，求 的能级n E 。

10、设有两个一维势阱若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为()Λ2121,n E ,E n n =（1）证明n n E E 21≤（提示：令()()211V V x ,V λ+λ-=λ（2）若粒子的势场中运动，试估计其束缚能总数的上、下限11、证明在规范变换下 不变。

12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。

13．带电粒子在外磁场()B ,,B 00=ρ中运动，如选⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02121,xB ,yB A ˆ或),xB ,(A 00=ρ 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示（1）一维谐振子基态：()t ix a ea t ,x ω--π=ψ222122（2）氢原子基态：()t E i a r nea t ,r 2031η--π=ψ2、求一维无限深位阱（0≤x ≤a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

3、求在动量表象中角动量x Lˆ的矩阵表示。

4、在（z l ,l 2）表象中，求1=l 的空间中的x Lˆ的可能值及相应几率。

5、设)r (V p H +μ=22，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则（提示：求[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元[][]>m X ,X ,H m ）6、若矩阵A ，B ，C 满足iA CB BC ,I C B A 2222=-===（1）证明：0=+=+CA AC BA AB ； （2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。

7、设),x (V p H x +=μ22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。

8、在正交基矢21ψψ,和3ψ展开的态空间中，某力学量⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=010100002a A 求在态321212121ψ+ψ+ψ=ψ中测量A 的可能值，几率和平均值。

第七章 自 旋1、设λ为常数，证明λσ+λ=λσsin i cos e z i z。

2、若(),i y x σ±σ=σ±21证明02=σ± 3、在z σ表象中，求n ρρ⋅σ的本征态，()θϕθϕθcos ,sin sin ,con sin n ρ是),(ϕθ方向的单位矢。

4、证明恒等式：()()()()B A i B A B A ρρρρρρρρρ⨯⋅σ+⋅=⋅σ⋅σ其中B ,A ρρ都与σρ对易。

5、已知原子c 12的电子填布为22020221j )p ()s ()s (，试给出（1）简并度；（2）给出jj 耦合的组态形式； （3）给出LS 耦合的组态形式；6、电子的磁矩算符S e l e ρρ002μ-μ-=μ，电子处于z j ,j ,l 22的本征态>j j m l 中，求磁矩μ。

7、对于自旋为21的体系，求yx S ˆS ˆ+的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应的态中，测量2η=z s ˆ的几率是多大？8、自旋为21的体系，在0=t 时处于本征值为2/η的x S 的本征态，将其置于()B ..B 00=的磁场中，求t 时刻，测量x S 取2/η的几率。

9、某个自旋为21/的体系，磁矩00<σμ=μt ,时，处于均匀磁场0B 中，0B 指向Z 方向，0≥t 时，再加上一个旋转磁场)t (B 1，其方向和Z 轴垂直。

其中c /B η000μ=ω已知0≤t 时，体系处于2/s z η=的本征态21/κ，求0>t 时，体系的自旋波函数，以及自旋反向所需要的时间。

10、有三个全同粒子，可以处于321ψψψ,,三个单粒子态上，当1213213211======n ,n ;n n n ;n 三种情形下的对称或反对称波函数如何写？11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，求体系最低两上能级的能量和波函数。

12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距离成正比的作用力，即位能为求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。

第八章 量子力学中的近似方法一、定态微扰论1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：01E 及02E 现在受到微扰Hˆ'的作用，微扰矩阵元为b ,a ,b H H ,a H H ==='='22112112都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。

2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x 方向： （1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。

3、设在0H 表象中，H 矩阵表示为试用微扰论求能量的二级修正。

4、设自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件波函数的形式可取为设粒子还受到一个“陷阱”的作用 试用简并微扰论计算能量一级修正。

5、一体系在无微扰时有两条能级，其中一条是二重简并的，在0H 表象中在计及微扰后，哈密顿量为（1）用微扰论求H 本征值，准到二级近似；（2）把H 严格对角化，求H 的精确本征值，然后进行比较。