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》《高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法
一、定义法:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱
, 这两个半平面叫
做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角
的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角
S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知
点(B )向棱AM 作垂线,得垂足(
F );在另一半平面
ASM 内过该垂足(F )作棱AM 的垂线(如GF ),
这两条垂线(BF 、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1如图,四棱锥
S ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD
底面ABCD ,
2
AD 2DC SD ,点M 在侧棱SC 上,
ABM =60°
(I )证明:M 在侧棱SC 的中点(II )求二面角S
AM B 的大小。

证(I )略
解(II ):利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ,则点F 为
AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GF
AM ,GF 交AS 于G ,
连结AC ,∵△ADC ≌△ADS ,∴AS-AC ,且M 是SC 的中点,∴AM ⊥SC , GF ⊥AM ,∴GF ∥AS ,又∵F 为AM 的中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点
G 是AS 的中点。


GFB 即为所求二面角.∵2SM ,则2
2GF

又∵
6AC SA ,∴2AM
,∵2AB
AM ,
60ABM
∴△ABM 是等边三角形,∴
3BF 。

在△GAB 中,2
6AG ,2AB ,
90GAB ,∴2
114
2
3BG
3
66
23
2
22
211321
2cos 2
22
FB
GF BG
FB GF
BFG
∴二面角S AM B 的大小为)
36arccos(
F
G
F
G。

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