A
若点C在线段AB上,
且满足 AC CB ,
C
CB AB
则点C为线段AB黄金分割点.
B
一些美术家认为，如果人的上、下身长之比接近黄金分割数，那么可以增加美感. 据说，一些名画和雕塑中的人体都符合这个比例.
女神维纳斯的雕像
AC 0.618 CB
线段黄金分割点的作图
思考：每一条线段都存在黄金分割点吗？ 我们如何通过作图确定这个点的位置？
AC
B
点C为线段AB的黄金分割点
CB 5 1. AB 2 若AB a , 则CB 5 1 a.
2
线段黄金分割点的作图
分析：
5 1a 2
AC
B
a
CB 5 1 a 5 a 1 a.
2
22
5
5
2
5 2a
5a 2
a
1
1 2a
线段黄金分割点的作图
作图步骤：
D
①作BD⊥AB且 BD 1 AB; 2
AC
B
整理得x2 ax a2 0.
解得x 1 5 a. 2
问题转化
已知：如图，点C在线段AB上，满足 AC :CB CB : AB . 求 CB : AB 的值.
∵x 0,
∴x 5 1 a. 2
ax x
∴CB : AB 5 1 a : a 2
AC
B
= 5 1 0.618. 2
问题解决
在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题，要使雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？
A
根据计算，得到这个高度比为 5 1 ，约为0.618.
2
C
B
黄金分割的相关概念
5 1
人们把 2 这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部 分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与 较长一段的比也是黄金分割数.
E
②连接AD;
③在DA上截取DE=BD ;
A
C
C'
B
④在AB上截取BC=AE，点C为线段AB的黄金分割点;
⑤在AB上截取AC ' AE，点C '为线段AB的黄金分割点.
思考：人物站立雕像的黄金分割点是哪个？
黄金分割数的应用
A
B
N
M
E
P
R
Q
C
D
正五角星中 BN EN 5 1. BM BE 2
N点是线段BM，BE，AP，AC的黄金分割点.
黄金分割数的应用
巴台农神庙侧墙东西宽31米，山墙顶部 离地面19米，即东西立面高与宽之比为19:31， 19米 接近黄金分割数，让人觉得神庙非常雄伟和 优雅.
31米
黄金矩形
人们也将短边与长边之比为黄金分割数的矩形称为黄金矩形.
矩形ABCD为黄金矩形. 以AB为边在矩形内部作正方形ABFE，
黄金分割
观察下列图片，它们都给人一种美与和谐的感受，你知道其中的奥秘吗？
问题引入
在本章引言中有一个关于人体雕塑的问题.要使雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与 全部（全身）的高度比，这个高度比应是多少？
A
C
AC
B
B
问题转化
已知：如图，点C在线段AB上，满足 AC :CB CB : AB . 求 CB : AB 的值.
你能证明矩形EFCD仍为黄金矩形吗？
A
E
D
ED DC 5 1. DC BC 2
B
F
C
黄金分割数的应用
优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法， 著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献.优选 法中有一种0.618法应用了黄金分割数.同学们可以 查阅资料，了解0.618法的应用.
本节课小结
实际问题 数学建模 一元二次方程 方程求解
解：设 AB=1 , CB=x，则 AC 1 x.
∵AC : CB CB : AB,Biblioteka 代入得到1 x : x x :1,
A
整理得x2 x 1 0, 解得x 1 5 .
2
1 x
C
x
B
问题转化
已知：如图，点C在线段AB上，满足 AC :CB CB : AB . 求 CB : AB 的值.
∵x 0, ∴x 5 1.
黄金分割数
5 1 0.618 2
同学们，再见！
2 ∴CB : AB 5 1
2 0.618.
1 x
AC
x
B
问题转化
已知：如图，点C在线段AB上，满足 AC :CB CB : AB . 求 CB : AB 的值.
解：设 AB=a , CB=x，则 AC a x.
∵AC : CB CB : AB,
ax x
代入得到a x : x x : a.