主动成长
夯基达标
1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2)
B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)
C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)
D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-4
3) 解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底.
对于A,e 1=0与任何向量共线,
C 中,2e 1=e 2,∴e 1与e 2共线.
D 中,4
1e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. 答案：B
2.已知a =(-1,3),b =(x,-1),且a 、b 共线,则x 等于( )
A.3
B.-3
C.
31 D.-31 解析：因为a 、b 共线,所以1=3x,∴x=
31. 答案：C
3.已知A(-1,-4),B(8, 2
1),且A 、B 、C 三点共线,则C 点的坐标为( ) A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),=(8,
21)-(-1,-4)=(9,29), =(x,y)-(8,21)=(x-8,y-2
1), =(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4),
∵A 、B 、C 三点共线, ∴AB 与BC 与AC 三个向量共线. ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+--=-).1)(21()4)(8(),8(29)21(9x y y x x y 经检验x=9,y=1适合.
答案：A
4.设a =(
31,tanα),b =(cosα, 23),且a 、b 共线,则锐角α的值为( ) A.12π B.6π C.4π D.3
π 解析：∵a 、b 共线,∴31×2
3-tanα·cosα=0,
即sinα=21
.∴α=6π
.
答案：B
5.已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +n b 与a -2b 共线,则n m
等于( ) A.21
B.2
C.-21
D.-2
解析：m a +n b =(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),
a -2
b =(2,3)-(-2,4)=(4,-1),
-2m+n=12m+8n.
∴14m=-7n.∴21
147
-=-
=n m .
答案：C
6.已知向量a =(3,1),向量b =(sinα-m,cosα),α∈R ,且a ∥b ,则m 的最小值为(
) A.-2 B.-1 C.2- D.-3
解析：∵a ∥b ,∴3cosα=sinα-m,
即sinα-3cosα=m,
2sin(α-3π
)=m.
∴sin(α-3π)=2m
. ∴2m
=-1.∴m=-2.
答案：A
7.向量a =(x,1),b =(9,x),若a 与b 共线且方向相反,则x=______________.
解析：x 2=9,∴x=±3.
又∵a 与b 方向相反,∴x=-3.
答案：-3
8.已知|a |=10,b =(4,-3),且a ∥b ,则向量a 的坐标为______________.
解析：设a =(x,y),
∴⎩⎨⎧=--=+.043
,
10022y x y x
解之,得⎩⎨⎧-==6,8y x 或⎩⎨⎧=-=.6,
8y x
答案：(8,-6)或(-8,6)
9.平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1),
(1)求3a +b -2c ;
(2)求满足a =m b +n c 的实数m 、n;
(3)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k;
(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .
解：(1)3a +b -2c
=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)
=(9,6)+(-1,2)-(8,2)
=(9-1-8,6+2-2)
=(0,6).
(2)∵a =m b +n c ,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴⎩⎨⎧=+=+-.
22,34n m n m 解之,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.98,95n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.98,95n m
(3)∵(a +k c )∥(2b -a ),
又a +k c =(3+4k,2+k),
2b -a =(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.
∴k=13
16-. (4)∵d-c =(x-4,y-1),a +b =(2,4),
又(d-c )∥(a +b )且|d-c |=1,
∴⎩
⎨⎧=-+-=---.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521,554y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=.5521,554y x
∴d=(4+55,1+552)或d=(455-,1-5
52). 10.已知向量a =(cosx,sinx),b =(sin2x,1-cos2x),c =(0,1),x ∈(0,π).
(1)向量a 、b 是否共线?请说明理由.
(2)求函数f(x)=|b |-(a +b )·c 的最大值.
解：(1)a 与b 共线.
∵cosx·(1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin 2x-sinx·2sinx·cosx=0,
∴a 与b 共线.
(2)|b |=2
2)2cos 1(2sin x x -+
=x x 2sin 4)2cos 1(2=-=2|sinx|,
∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0.∴|b |=2sinx.
又(a +b )·c =(cosx+sin2x,sinx+1-cos2x)·(0,1)
=sinx+2sin 2x,
∴f(x)=-2sin 2x+sinx=-2(sinx-
41)2+81. ∵x ∈(0,π),∴当sinx=
41时,函数f(x)取得最大值81. 走近高考
11.(2005全国高考卷Ⅲ,14)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A 、B 、C 三点共线,则k=___________.
解析：由题知=λ,即-=λ(-),代入得(4-k,-7)=λ(-2k,-2),∴
2724--=--k k ,解之,得k=-
32. 答案：-3
2 12.(经典回放)已知向量a =(3,4),b =(sinα,cosα),且a ∥b ,则tanα等于( ) A.4
3 B.-43 C.3
4 D.3
4- 解析：∵a ∥b ,∴3cosα=4sinα. ∴tanα=
43. 答案：A
13.已知点A(1,-2),若向量与a =(2,3)同向,||=132,则点B 的坐标为__________. 解析：设B(x,y),则AB =(x-1,y+2)与a =(2,3)同向,则有3x-3=2y+4.①
由||=132)2()1(2
2=++-y x ,②
解方程组可得x=5,y=4.
答案：(5,4)。