３］ 。 实现的 ［
１ 编码孔径光谱数据
） 表示 １ 编码孔径光谱成像仪采集后的图像可由式 （
。 在最优化问题中 ，定义目标函数为
犵＝犎 犳 ＋η
２ ０ １ ２ １ ２ ０ １，修订日期 ： ２ ０ １ ３ ０ ８ １ ８ 收稿日期 ： ） 资助 ４ １ ０ ０ ５ ０ １ ９ 基金项目 ：国家自然科学基金项目 （
犺
（ ） ４
狏 （ ） ， ， ５ Δ 犻 犽 －犳 犻 １， 犽 犻 犳 ＝犳 ＋ 犼， 犼 当目标函数中 的 犎 为 各 向 同 性 时 ，即 全 一 矩 阵 时 ，犎 犳
优点 Ｂ ｉ ｏ ｕ ｃ ａ ｓ Ｄ ｉ ａ ｓ与 Ｆ ｉ ｕ ｅ ｉ ｒ ｅ ｄ ｏ提 出 了 两 步 迭 代 收 缩 阈 值 算 ｇ 法 ，既能保持 Ｉ Ｓ Ｔ 算法很好的去噪声 特 性 ，又 同 Ｉ Ｒ Ｓ一样可 病态 ” 方程问题 。其算法更新过程如下 以有效地解决严重 “
基于两步迭代收缩阈值的编码孔径光谱数据复原算法
２ ２ ，胡炳樑１，王 爽１，李 然１，石大莲１， 李 芸１，
１．中国科学院西安光学精密机械研究所光谱成像技术实验室 ，陕西 西安 ７ １ ０ ０ ６ ８ ０ ０ ０ ４ ９ ２．中国科学院研究生院 ，北京 １
摘 要 编码孔径光谱成像仪根据压缩传感理 论 ，对 物 体 进 行 光 谱 成 像 。编 码 孔 径 光 谱 数 据 复 原 的 特 点 在 于能将探测器上所得到的二维编码像复原成三维的数 据 立 方 体 。两 步 迭 代 收 缩 阈 值 算 法 是 在 迭 代 收 缩 阈 值 算法和迭代加权收缩算法基础上加以改进而得出的 ，采 用 两 步 迭 代 收 缩 阈 值 算 法 对 编 码 孔 径 光 谱 数 据 进 行 复原 ，成功地由二维编码像复原出了三维数据立方体 ，具有迭代步数少 ，收敛速度快的特点 。 关键词 两步迭代收缩阈值 ；压缩传感 ；编码孔径 ；光谱数据复原 ： ／ （ ） 中图分类号 ： ＴＨ ７ ４ ４ 文献标识码 ：Ａ 犇 犗 犐 １ ０ ． ３ ９ ６ ４ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ ０ ５ ９ ３ ２ ０ １ ４ ０ ３ ０ ８ ４ ７ ０ ４ ｊ 其中 犵 是在探测器 上 所 得 到 的 编 码 像 ， 犳 是 原 始 图 像， η是
２］ 。其通过稀疏编 码 矩 阵 对 目 标 物 进 孔径快照型光谱成像仪 ［
行压缩 ，从而在一次采样的过 程 中 ，同 时 获 得 了 目 标 物 的 空 间信息和光谱信息 ，因为其所获得的信息 是 采 用 压 缩 传 感 理 论压缩过的 ，因此其复原算法显得尤其重要 。 编码孔径光谱数据 复 原 就 是 对 压 缩 传 感 图 像 进 行 重 构 ， 主要是利用其信号在某些特定稀疏矩阵投影下具有稀疏性来
第３ 第３期 光 谱 学 与 光 谱 分 析 ４卷 ， ２０１４ 年 ３ 月 Ｓ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｓ ｃ ｏ ｎ ｄＳ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌＡ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｐ ｐ ｙａ ｐ ｙ
８ ４ ７ ８ ５ ０ Ｖ ｏ ｌ ． ３ ４， Ｎ ｏ ． ３， ｐ ｐ Ｍ ａ ｒ ｃ ｈ， ２ ０ １ ４
（ ） １ ５ ， ， ， ， 式中 狓 犎 为 投 影 矩 阵 α， ０ 是初值 Γ λ 为软收缩 阈 值 函 数 α 取 ０＜ α＜２ 计 算 犎 矩 阵 的 特 征 值 ， λ λ １ ，…， 犿 β 为参数 ， β ／ 取为 ０＜ 犿，此算法可证明收敛 。 α λ β＜２
狓 １ ＝Γ ０） 犳 λ（ １－α） α－β） Γ 狋 １ ＝ （ 狋 １＋（ 狋＋ 狋） 犳 犳 犳 犳 ＋ － λ（ β Ｔ （ ） （ （ ） ） 犎 犎 ＝ ＋ － Γ Ψ 犳 犳 犵 犳 λ λ
１ ２ （ ） 犡（ ２ ‖犵－ 犎 ΦＴＶ （ 犳）＝ 犳‖２ ＋τ 犳） ２ 式中 ， 犎 是 对犳 的 线 性 变 犵 是探测器上所得到 的 观 测 数 据 ， 换 ，一 般 是 一 个 正 的 对 称 的 半 正 定 矩 阵 ， 犳 是待重构的数据 立方体 。 的引入是为了去掉噪声 τ 代表正则化参 数 ， ΦＴＶ （ 犳） 也 叫 做 去 噪 声 函 数 ，在 这 里 采 用 总 变 分 函 的影响 ， ΦＴＶ （ 犳） ５］ ，总变分函数如式 （ ） 数［ ３
在实验中 ，用编码孔光 谱 成 像 仪 所 采 集 的 编 码 像 如 图 １ 所示 ，所采集到的图像为 ２ ０ ０×２ ０ ０ 像素 。
的基础上 ，其核心是利用前两 个 迭 代 值 更 新 当 前 值 ，这 也 就 是所谓的 “ 两步 ” 迭代收缩 阈 值 算 法 。 Ｉ Ｓ Ｔ 算 法 与Ｉ Ｒ Ｓ算法各 有优点 ，当 解 的 问 题 是 中 度 病 态 时 ， Ｉ Ｓ Ｔ 比Ｉ Ｒ Ｓ算法收敛速 度快 ；当 解 的 问 题 是 严 重 病 态 时 ， Ｉ Ｒ Ｓ比Ｉ Ｓ Ｔ 算法收敛速度 快。 ２ １ 迭代收缩阈值算法
［３］ （ ， 。结合这两 种 算 法 的 犓＝ 犐） Ｉ Ｓ Ｔ 一步收敛 ，而 Ｉ Ｒ Ｓ 不是 １
ΦＴＶ （ 犳）＝
犺 犻 狏 犻
∑
犻
犺 ２ 狏 ２ （ Δ Δ 犻 犻 犳） ＋ （ 犳） 槡
（ ） ３
Δ 和Δ 代 表 对 于 像 素 值 ｆ 的 一 阶 水 平 和 垂 直 差 分 操
６］ 作［ ， Δ 犻 犻 犽 －犳 犻 １， 犽 犳 ＝犳 ＋ 犼， 犼，
（ ） １ ３ （ ） １ ４
３ 结果与讨论 ２ 两步迭代收缩阈值算法
／ ｔ ｗ ｏ ｓ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅｓ ｈ ｒ ｉ ｎ ｋ ａ ｅ 两 步 迭 代 收 缩 阈 值 算 法 （ ｐｉ ｇ
［ ７］ ） 是为了针对编码孔径光谱数据复原 所 提 出 来 的 ， ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ 建立在迭代收 缩 阈 值 算 法 （ 和迭代加权收缩算法（ Ｉ Ｓ Ｔ） Ｉ Ｒ Ｓ）
［ ８］ ） 在迭代收缩阈值算法中 ，迭代算法如式 （ ９ Ｔ ） （ ） １－β ９ Ψλ （ 狋 １ ＝ （ 狋＋ 狋 ＋犎 （ 狋） 犳 犳 犳 犵－ 犎 犳 ＋ β ， 式中 ， 为进 行 光 谱 成 像 时 的 投 影 矩 阵 为 上 一 次 迭 代 犎 狋 犳
犉 犻 １ 犆 狅 犱 犲 犱 犻 犿 犪 犲 犵 犵 所采集到的编码像保留了大部分原 物 体 的 空 间 信 息 ，而 光谱信息由于受到了投影矩 阵 的 调 制 ，从 图 上 很 难 得 到 ，需 要用复原算法去重构 。在实验 中 ，投 影 矩 阵 选 用 二 维 编 码 随 机矩阵 。 在用两步迭代收缩阈值算法重构光谱数据立方体时需要 先对光谱数据进行处理 ，由于光谱数据是 通 过 编 码 孔 径 光 谱 仪 ，在 Ｃ Ｃ Ｄ 探测器上探测得到的 ，要考虑仪器衍射及探测器 噪声对光谱数据的影响 ，通过 去 背 景 噪 声 及 暗 电 流 噪 声 ，减 小Ｃ Ｃ Ｄ 探 测 器 所 引 进 的 数 据 误 差 ，同 时 采 用 逆 滤 波 法 可 降 低仪器衍射 所 引 进 的 噪 声 误 差 ，最 后 在 进 行 光 谱 数 据 复 原 前 ，还需要对前期处理过的光谱数据进行归一化 。 归一化后的光谱数据可直接用两步迭代收缩阀值算法进 行复原 ，复原结果的准确性取 决 于 迭 代 结 束 的 条 件 。而 迭 代
＝犳，则目标函数变为
犱 狓）＝ ‖犵－犳‖ 狔（
１ （） ２ 犱 τ ΦＴＶ （ 犳） 狔 狓 ２＋ ２ ） 转化为最小化式 １ 则在最优化问题中求解式 （
（ ） ６ （ ） ７
犡＝
｛ （ ） ｒ ｍ ｉ ｎ 犡｝ ８ Ψλ （ ｇ 犳）＝ ａ （ ） ， 式 ８ 可以用 两 步 迭 代 收 缩 阈 值 算 法 求 解 获 得 最 后 的 复原图像 。
狓 狋。
对于严重 “ 病态 ” 方 程， Ｉ Ｒ Ｓ收 敛 速 度 比Ｉ Ｓ Ｔ 快 ，得 益 于 算法 。而 当 噪 声 起 主 要 作 用 ，待 解 两步固定迭代 （ Ｔ ｗ ｏ Ｓ Ｉ Ｍ） 方程并不是严重 “ 病态 ” 时， Ｉ Ｓ Ｔ 收 敛 速 度 比Ｉ Ｒ Ｓ 快 ，因 为 它 每一步收敛 都 是 封 闭 去 噪 声 过 程 ，在 严 格 的 纯 噪 声 问 题 中
（ ） １
： ＿ １ ９ ８ ４ 年生 ，中国科学院西安光学精密机械研究所助理研究员 ｅ ｍ ａ ｉ ｌ ｌ ｉ ｕ ｎ ｏ ｎ ｌ ２ ６． ｃ ｏ ｍ 作者简介 ：李 芸 ，女 ， ＠１ ｙ ｙ
８ ４ ８
光谱学与光谱分析 第 ３ ４卷 ） 逆 ，两步固定迭代算法更新公式如式 （ １ １， １ ２ （ ） 狓 犆－１ （ 犫－犃 狓０ ） １ １ １ ＝狓 ０＋ ０ β １ － （ ） 狓 １－α） 狓 狓 犆 （ 犫－犃 狓 １ ２ α 狋 １ ＝ （ 狋 １＋ 狋＋ 狋） ＋ － β ， ， ， ， 这里 初始值 和 都是算法的参数 在这 狋 １ 狓 ≥ αβ β ０ ０ 个两步固定迭代算法中 ， 狓 狋 ＋１ 依赖 于 狓 狋 和狓 狋 －１ ，而 不 仅 仅 是
引理论的新型光谱成
１］ 像仪 。压缩传感理论 ［ 突破了传统的奈奎 斯 特 采 样 理 论 的 限
采集过程中引入的各种噪声 ， 犎 是 压 缩 传 输 矩 阵 。编 码 孔 径 光谱数据复原就是由 犵 求出犳 的过程 ，由于编码孔径光谱 成 像仪采用压缩传感理论 ，核心是用二维的 投 影 矩 阵 对 三 维 的 数据立方体进行 压 缩 采 样 ，所 以 在 式 （ 中 ，采 样 得 到 的 采 １） 样点 犵 的个数远远小于奈奎斯特采样数据的个 数 ，采 用 传 统 的奈奎斯特采样定理下的光谱数据复原算法是无法重构出原 始信号 犳 的 ，当 犵 的个数远远小于犳 的个数时 ，数 据 的 原 问 题就是个严重 “ 病态 ” 问题 。 编码孔径光谱成像仪也是前几年新 出 现 的 ，因 此 针 对 其 光谱数据复原 ，也是主要以国 外 提 出 的 算 法 为 主 ，国 内 新 提 出的算法并不多 。在国外 ，目前 提 出 的 复 原 算 法 主 要 有 稀 疏 重构的梯度投影算法和两步迭代收缩阈 值 算 法 等 。稀 疏 重 构 的梯度投影算法是假定目标中的场景在空间结构上是分段光 滑的 ，同时在小波基上可压缩 。在 此 算 法 中 冗 余 小 波 变 换 重 构出的数据立 方 体 要 优 于 非 冗 余 小 波 变 换 重 构 的 数 据 立 方 体 。但同时 ，由于用到 冗 余 小 波 变 换 ，要 求 其 空 间 数 据 立 方 体中空间信息和光谱信息的维数必须 是 ２ 的 整 次 幂 ，这 为 实 际复原带来了问题 。因而此处采用两步迭 代 收 缩 阈 值 算 法 进 行数据复原 。国内目前也有应用迭代收缩 阈 值 算 法 进 行 压 缩 传感图像复原的 ，大多都是采 用 计 算 机 模 拟 的 图 像 ，本 文 是 对真实的实验数据进行光谱复原 。 编码孔径光谱数据复原问题可转化为最优化中的求解问 题