直线和椭圆的位置关系
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直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两. 个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组：
x
2
a 2
y2 b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
=0
方程组有一解
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
y
直 线 m 为 ： 4 x 5 y 2 5 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 4025 15 41
4252 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
4025 42 52
65 41
41
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知识点1：弦长问题
x2 y2
若直线
l:ykxm与椭圆
由方程组 x2 25
y2 9
1
消 去 y ， 得 2 5 x 2 8 k x k 2 -2 2 5 0
由 0 ， 得 6 4 k 2 - 4 2 （ 5 k 2 - 2 2 5 ） 0
解 得 k1=25， k2=-25 由 . 图 可 知 k25.
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
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(4)弦长公式.
变 式 1： 已 知 椭 圆x2y21,过 椭 圆 右 焦 点 的 直 线 l交 4
椭 圆 于 A,B两 点 ， 且AB=8， 求 直 线 l方 程 。 5
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练习
已知椭圆ax2by21于直线xy10交于A,B两点， 且AB2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为2，求a,b的值。
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
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且 x02 y02 1 25 9
m m
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解 ： 设 直 线 m 平 行 于 l，
则 l可 写 成 ： 4 x 5 y k 0
x o
4x5yk 0
一个交点
<0
方程组无解 .
无交点
相交 相切 相离
练习
1：直线y=x+1与椭圆 x2 y 2 1 恒有公共点,
5m
求m的取值范围。
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练习2.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．.
练习
如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
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小结
1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1k2· （ x1x2 ） 1x2
= 1k12· （y1y2） 4y1y2 （适用于任何曲线）
2
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知识点2：弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率 .
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
练习3.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D )
x2 y2 1
94
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点 .
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
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例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
a2
b2
1(ab0)的
交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
| AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2
| AB| 1k2 (x1 x2)2 1k2 | x1 x2 |
| AB|
1
1 k2
(y1 y2)2
1
1 k2
|
y1 y2
|
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例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
94
求 直 线 A B 所 在 的 直 线 方 程 。
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2、 已 知 椭 圆x2+y2=1及 点 B （ 0， 2） ， 过 椭 圆 的 左 焦 2
点 F1与 B的 直 线 交 椭 圆 于 C、 D两 点 ， 椭 圆 的 右 焦 点 为 F2，
求 CDF2的 面 积 。 3、 已 知 椭 圆 x2+y2=1某 一 条 弦 A B 被 P （ 1,1 ） 平 分 ，
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜 率。
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课后作业
1、 已 知 椭 圆 x2+y2=1， 过 左 焦 点 F作 倾 斜 角 为 的 直 线
9
6
交 椭 圆 于 A ， B 两 点 ， 求 弦 A B 的 长