b
探索: 你发现了什么?
2 直 接 总面积= (a+b) ； 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
a
a 图1—6
b
公式: (a+b)2= a2+ 2ab + b2.
动脑筋
想一想
完全平方公式
的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
语言表述:
两数和(差)的平方 等于这两数的平方和
用自己的语 言叙述上面 的公式
a
加上 (减去) 这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
b
ab
a
完全平方公式
例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
(1) (2x−3)2 =(2x)2-2· 3+32=4x2-12x+9 (2x)· (a -b )2 = a2-2 a b + b2 (2)(4x+5y)2=(4x)2+2· (5y)+(5y)2=16x2+40xy+25y2 (4x)· (a +b )2 = a2+2 a b + b2 (3)(mn-a)2 =(mn)2-2· a+a2=m2n2-2amn+a2 mn·
(3) (mn−a)2
首平方，尾平方，两倍乘积放中央。
1.计算： (1) ( 1 x − 2y)2 ； 2 1 2 (2) (2xy+ x ) ; 5 (3)(n +1)2 − n2 ;
(4) (4x+0.5)2 ;
(5) (2x2-3y2)2
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
1. 平方差公式： (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征： 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
2. 应用平方差公式的注意事项：☾ 弄清楚在什么情况下才Fra bibliotek使用平方差公式.
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田，以种植不同的 新品种(如图1—6). 用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较.
作业
1. 基础训练：教材习题1.13 .
2. 拓展练习： (a+b)2与(a-b)2有怎样的联系？能否用一个等式来 表示两者之间的关系，并尝试用图形来验证你的 结论？
解: (1) 第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
(a -b )2 = a2-2 a b + b2
首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 结果不同： 完全平方公式的结果是三项， 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 2. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到 不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a−b)2 = a2−2ab+b2 . 结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去)
这两数乘积的两倍.
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
ab
b2 ab
b
a2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 b a−b a−b (a−b)2 b(a−b)
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式:(a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 推证 你能继续做下去吗? (a+b)2 = (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+ b2; (a−b)2= [a+(−b)]2 利用两数和的 = a 2 + 2 a (−b) +(−b) 2 完全平方公式 a2 − 2ab + b2. 推证公式 =
完全平方公式
例2 利用完全平方公式计算： (1) (-1-2x)2 ； (2) (-2x+1)2
还有其他 方法吗？
(1) (-1-2x)2 =(-1)2-2· 2x+(2x)2=1+4x+4x2 (-1)· (a -b )2 = a2-2 a b + b2 (-1-2x)2 =(-1)2+2· (-2x)+(-2x)2=1+4x+4x2 (-1)· 方法2： (a +b )2 = a2+2 a b + b2 (-1-2x)2 =[-(1+2x)]2=(1+2x)2=1+4x+4x2 方法3：
从不同的角度来看同一问题，常常会 有不同的方法。
完全平方公式
例2 利用完全平方公式计算： (1) (-1-2x)2 ； (2) (-2x+1)2
(2) (-2x+1)2 =(-2x)2 +2· (-2x)· 2=4x2-4x+1 1+1 (a +b )2 = a2+2 a b + b2 方法2： (-2x+1)2 =(2x-1)2 =4x2-4x+1