数形结合思想在解题中的应用
摘要:数形结合思想是中学数学中最重要和最常见的数学思想方法之一,数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立,又互相渗透。
尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密。
从数中去认识图形,从形中去认识数。
数缺形少直观,形少数难入微。
高中数学的一些代数问题,通过研究其几何性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。
关键词:数形结合数学思想解题与应用
所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数式的含义又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题途径,使问题得以解决。
它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
著名数学家华罗庚先生说过“数形结合百般好,隔离分家万事休”。
高中数学的一些代数问题,通过研究其关系、性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。
而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想,巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平,而且还能培养他们不循常规、不拘常法、不落俗套的创新思维和探求精神。
纵观近几年的高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题可起到事半功倍的效果。
数形结合的思想方法应用是非常广泛的,在考试乃至平常的教学中常见的如解方程和解
不等式问题,求函数的值域、最值问题,求复数和三角函数问题等。
运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。
所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
下面通过几个例题的分析给予解评。
例1.某班有50名学生报名参加a、b两项比赛,参加a项的30人,参加b项的有33人,且a、b都不参加的同学比a、b都参加的同学的三分之一多一人。
问:只参加a不参加b的学生有多少?
分析:此类问题若只进行空洞的分析,很难找到我们所需的等量关系,甚至易出现多解和漏解情形。
想反,我们若能直观将各部分人数用韦恩图展示出来,问题将迎刃而解。
设两项比赛都参加的同学组成集合a∩b,并设其中有x个元素,则各部分人数分布如图所示。
由题意
知:(30-x)+(33-x)+(x/3)+1=50,∴x=21
∴30-x=9,即只参加a的不参加b的有9人。
例2.设x∈[,],求证:cosx-cotx≥-1。
分析:由、1联想等腰直角三角形,不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作rt△abc,令∠c=90°,ac=1,在ac上取一点d,记∠cdb=x,则bd=cosx,cd=cotx,ad=1-cotx,利用ad+db≥ab=,可得cosx-cotx ≥-1,等号仅在x=时成立。
例3.已知不等式≥x(a>0)的解集为{x m≤x≤n｝,且m-n,则a
的值等于
____________。
分析:令y=,y=x在同一坐标系内画出这两个函数的图象。
由解集为{x|m≤x≤n｝,得m=-2a,由m-n=3a,得n=a
于是得到两个图象的交点坐标为(a,a)
代入=x中,得方程=a,解得a=3
例4.已知0a.1个 b.2个
c.3个
d.1个或2个或3个
分析:方程左边是指数结构右边是对数结构,先不管加了绝对值所带来的难度,就方程形式而言没有常规的代数方法可解。
联想到数形结合,判断方程的根的个数就是判断图象的y=与y=logax交点个数,画出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选b。
例5.如果实数x,y满(x-2)2+y2,=3则的最大值为()
a. b.c.d.
分析:等式(x-2)2+y2=3有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,圆心为(2,0),半径r=(如图),而=则表示圆上的点(x,y)与坐标原点(0,0)的连线的斜率,如此一来,该问题可转化为如下几何问题:动点a在以(2,0)为圆心,以为半径的圆上移动,求直线oa的斜率的最大值,由图可见,当点a在第一象限,且与圆相切时,oa的斜率最大,经简单计算,得最大值为tan60°=
例6.已知x、y满足+=1,求y-3x的最大值与最小值。
分析:对于二元函数y-3x在限定条件+=1下,求最值问题,常采用构造直线的截距的方法来求之。
令y-3x=b,原问题转化为:y=3x+b在椭圆+=1上求一点,使过该点的直线斜率为3,且在y轴上的截距最大或最小,由图形知,当直线y=3x+b与椭圆+=1相切时,有最大截距与最小截距。
y=3x+b+=1?圯169x2+96bx+16b2-400=0
由δ=0,得b=±3,故y-3x的最大值为13,最小值为-13。
例7.若集合
m=(x,y)|x=3cosθ(01),求loga(uv)的最大值和最小值。
解:令x=logau,y=logav则已知式可化为(x-1)2+(y-1)2=4(x≥0,y≥0)再设t=loga(uv)=x+y(x≥0,y≥0),由图可见,则当线段
y=-x+t(x≥0,y≥0)与圆弧(x-1)2+(y-1)2=4(x≥0,y≥0)相切时,截距t取最大值tmax=2+2(如图3中cd位置);当线段端点是圆弧端点时,t取最小值tmin=1+(如图中ab位置)。
因此loga(uv)的最大值是2+2,最小值是1+。