K i(t)
+
i2 (t)
2V
-
**
1H
4
其中 n L1 1 1 ，将理想变压器次级搬移到初级， 得等效电路L2，利4用一2 阶电路的三要素法求解。
i(t) 1
i1 (t )
L 2s
K
R
+
iL (0 ) 0A iL (0 )
2V
-
1H
1 i(0 ) 1A
iL
i() 2A
1t
1t
i(t) 2 [1 2]e 2 2 e 2 t 0
解：将次级折合到初级，RL与ZS 3 j4 不可能达到共扼
匹配。
I3 j4
+
I
2000 (3 500n2 )
j4
200 0V
-
500n2 RL
(3
2000 RL)
j4
这时，可变化的只是变比 n，这就是“模匹配”的情况。
RL ' n2RL 500n2 ZS 32 42 5
n 0.1
1 n
US
Z1 n2
I2
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一样的。 电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:
n2 R (n2 R)
n2 ( jL) j (n2 L)
n2 1
1
jC
j
(
1 n2
C)
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。
例如：
a Z1
c Z3
+
US
* Z2
N
-
*
+*
U1
-
•
•
I2 I2' c
+•
*
U2
-
I2"
Z2
N
•
•
a I1 I1'
+
*
U1 n2 Z2
-
•
I2' c
+ *
U2 N
-
b
n:1
d
b
n:1 d
(a)
(b)
由图(a)：
得图(b)。其中：
U1 nU2
I1
1 n
I2
1 n
(I2" I2 ' )
I1
1 n
I2
1 n
(U2 Z2
I2 ' )
U1 n2Z2
I1
+
nU2
-
nI1
+ **
U2
-
n:1
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
Zi n2ZL
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广： 1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级； 2. 串联阻抗可以从初级搬移到次级。 阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
•
a I1
i1
i2
+ **
+
u1
-
u2
-
i1
n:1
ni1
+ **
+
nu 2
u2
-
-
n:1
i1
+
u1
-
i1
+
nu2
-
* *
i2 -
u2
n:1
+
ni1 -
*
*
u2
n:1
+
p. 356 例 6-4-1
6-4-2 理想变压器的阻抗变换
由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n 倍的关系变换 电压、电流外，还可以以 n2 倍的关系变换阻抗。
-
u1 u2
n
i1 1
i2 n
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两 种VCR仅差一个符号。
6 -4 -1 理想变压器伏安关系推导
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理 想变压器的VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有 这两种情况，由耦合线圈的VCR：
u1
6-5-1 全耦合变压器的电路模型
实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三 个条件，即k = 1但 L 不为无限大，这就是全耦合变压器。两线 圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**式，即
1
i1 L1
t
u1( )d
1 ni2
i
i1'
可见，全耦合变压器的初 级电流由两部分组成，其
中i 称为激磁电流或空载
dj1 dt
dj11±dj12 dt dt
uL1±uM1
L1
di1±M dt
di2 dt
u2
dj2 dt
d
j22±d
j 21
dt dt
uL2±uM
2
L2
di2±Mdi1 dt dt
这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数 k=1 时：
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1 和 N2，则两线圈的总磁链
电流。其等效电路模型如 图所示。
i1 i1'
+
u1
i
*
L1
*
-
n:1
i2
+
u2
-
i1 i1'
负载中电阻吸收的功率：
P
I
2(
Z
L
cosL )
(Rs
Z
L
Us2
Z
L
cosL )2
cos
(Xs
Z
L
sin
L )2
要使P达到最大，必须
dP
d
(
Z
L
）
0,
即
Z
L
＝
Z
s
这时，负载获得最大功率。这种情况称为“模匹配”。模匹 配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。
作业：p. 374
6-15 6-19 (a)
u2
dj2
dt
N2
d
dt
故得： u1 N1 n u2 N2
由耦合电感VCR的第一式：
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
t
从 - 到 t 积分，有 u1( )d L1i1 Mi2
得： i1
1 L1
t
u1(
)d
M L1
i2
由自感、互感的定义： N111 L1i1 , N112 Mi2
Z1
-
由上题完全类似，可得：
•
Z2
V
•
Zi
n2Z2
(n 1)2 Z1
I
P.247. 例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的 输出阻抗为：
Zo Ro 22 R1 (2 1)2 R2 10
开路电压由理想变压器的VCR直接得到：
i2 0i1 0
voc 2vS 2 (t)
6-5 一般变压器的电路模型
b
n:1 d
a
c Z3
简化为
+
US
-
*
1 n2 Z1
*
1 n2
Z2
N
b n:1
d
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。
a
c Z3
*
-
*
1 n
U+S
1 n2 Z1
1 n2 Z2
N
b n:1
d
c Z3
由理想变压器的
-1
VCR，简化成没 有变压器的电路。
1 n
U+S
n2 Z1
1 n2 Z2
N
d
入的功率全部通过次级线圈传递给负载。
理想变压器虽可看作耦合电感的极限情况，其电路符号 也与耦合电感相同，但它与耦合电感有本质的区别。
耦合电感
理想变压器
VCR 线性微分方程 元件性质 动态、记忆、储能元
件
表征参数 L1、 L2、 M
线性代数方程 静态、无记忆、既不 耗能也不储能
n
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合 并成一种，且不带负号。两线圈的电压（标同名端处假设为正 极）、电流（一侧流入另一侧流出）应如下图假设：
如：从初级看进去的等效电阻为
i1
Ri
u1 i1
i2
nu2
1 n
i2
n2
u2 i2
n2RL
+
+
u1 * * u2 RL
-
-
+ i1
u1
n2 RL
-
n:1
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想 变压器伏安关系的相量形式为：
U1 nU2 I2 nI1
•
I1
•
I
1 1
2
2
•
•
•
I S I1 I
解上两式，得
I
1 3
Is
20
A
例8 -11：电路初始状态为零，t=0 开关闭合，试求t>0时的电 流 i(t)。
1 2H
解：由已知参数，
+
2V
-
K i(t)
1H*
*
4H
i2 (t) k M 1
4
L1 L2
此乃全耦合变压器，其
等效电路为：
1 i1(t) n:1
例4. 含理想变压器电路如图，试求I1 和U 。
I1 1
I2
+ **