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初二数学二次根式知识点大全

第1关 二次根式(讲义部分)知识点1 二次根式1.二次根式的定义二次根式的定义:一般地,我们把形如(0≥a )的式子叫做二次根式. (1)“”称为二次根号;(2)a (0≥a )是一个非负数. 2.二次根式有意义的条件(1)二次根式的概念.形如(0≥a )的式子叫做二次根式.(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数. (3)二次根式具有非负性.(0≥a )是一个非负数. 3.二次根式的双重非负性(1)0≥a 被开方数的非负性;(2)0≥a (算数平方根的非负性). 4.二次根式化简(1)把被开方数分解因式;(2)利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来; (3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2.题型1 二次根式定义【例1】0)y 0,0)a b <<中,是二次根式的有( ) A .3个B .4个C .5个D .5个【解答】0)y 0,0)a b <<是二次根式,共4个, 故选:B .【点评】此题主要考查了二次根式定义,关键是注意被开方数为非负数.【例2】y( ) A .0x B .0x 且0y >C .x 、y 同号D .0x ,0y >或0x ,0y <【解答】解:依题意有20x y 且0y ≠,即0xy且0y ≠. 所以0x ,0y >或0x ,0y <. 故选:D .【点评】0)a 叫二次根式.二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零,此时被开方数大于0.题型2 二次根式有意义的条件【例3】若a 、b 为实数,且4b =+,则a b +的值为( ) A .1± B .4 C .3或5 D .5【解答】解:由题意得,210a -,210a -,则21a =,解得,1a =±,4b ∴=,则3a b +=或5, 故选:C .【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.【例4】若2y =,求x y 的值. 【解答】解:22y x =,24x ∴=,解得:2x =±, 故2y =-,则2(2)4x y =-=或21(2)4x y -=-=. 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确得出x 的值是解题关键.题型3 二次根式化简求值【例5】已知a 、b 、c ||||a bb c ++.【解答】解:如图所示:0a <,0a b +<,0c a ->,0b c +<,||||a b b c ++a ab c a bc =-+++---a=-.【点评】此题主要考查了二次根式的性质和数轴,正确得出各部分符号是解题关键.【例6】设a ,b ,c 为ABC ∆的三边,化简:【解答】解:根据a ,b ,c 为ABC ∆的三边,得到0a b c ++>,0a b c --<,0b a c --<,0c b a --<,则原式||||||||4a b c a b c b a c c b a a b c b c a a c b a b cc=+++--+--+--=++++-++-++-=. 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,以及三角形的三边关系,熟练掌握运算法则是解本 题的关键.【例7】数a ,b【解答】解:如图得,21a-<<-,12b <<,0a b ∴-<,10b ->,10a +<,∴1(1)b a b a =-+----, 211b a a =--++, 2b =.【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴,掌握二次根式的化简是解题的关键.知识点2 二次根式运算1.最简二次根式(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 2.分母有理化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去.分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式.(2)两个含二次根式的代数式相乘时,它们的积不含二次根式,这样的两个代数式成互为有理 化因式. 3.同类二次根式(1)定义:一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这 几个二次根式叫做同类二次根式. (2)合并同类二次根式的方法:只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变. 4.二次根式的混合运算(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式 的混合运算应注意:与有理数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括 号的先算括号里面的.(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解 题途径,往往能事半功倍.题型4 最简二次根式【例8】下列说法错误的是( )A . BC .是一个非负数D 的最小值是4【解答】解:A |3|a =-,说法错误,故本选项正确;BC 是一个非负数说法正确,故本选项错误;D 、4说法正确,故本选项错误. 故选:A .【点评】本题考查最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分 母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.题型5 分母有理化【例9】阅读理解材料:把分母中的根号化掉叫做分母有理化,例如:①2525555==;②1===等运算都是分母有理化.根据上述材料, (1(2.【解答】解:(1)原式==(2)原式11.【点评】此题考查了分母有理化,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键. 【例10】观察下列运算①由1)1=1=;②由1=③由1=④由1==;⋯(1)通过观察,将你发现的规律用含有n 的式子表示出来. (2)利用你发现的规律,+⋯+.【解答】解:(1n =为正整数);(2)原式1)=+++⋯+,1=1=.【点评】此题考查了分母有理化,弄清阅读材料中的方法是解本题的关键.题型6 同类二次根式【例11】( )A B CD【解答】解:,∴ 故选:A .【点评】本题主要考查同类二次根式,解题的关键是掌握同类二次根式的概念.【例12】 是同类二次根式的是( )A .①和②B .②和③C .①和④D .③和④【解答】解:=2==3==,∴故选:C .【点评】本题考查了同类二次根式的定义: 化成最简二次根式后, 被开方数相同, 这样的二 次根式叫做同类二次根式 .【例13】是同类二次根式,则a = .【解答】解:38172a a ∴-=-,解得:5a =.【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义.【例14】计算:(1)-.(2)-.(3)2132 3+(4)【解答】解:(1)原式==(2)原式22=-1812=-6=;(3)原式23=-+5=;(4)原式13932=⨯⨯=【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.题型7 二次根式化简求值【例15】先化简,再求值(6(4-,其中32x=,27y=.【解答】解:32x=,27y=,∴原式=-=-====【点评】本题考查了二次根式的化简求值,正确对二次根式进行化简是关键.【例16】已知x=,y=,求代数式22242x xy y-+的值.【解答】解:353x+==+-5y ==-∴原式222(2)x xy y =-+22()x y =-22(55=++2= 296=⨯ 192=.【点评】本题考查了二次根式的化简求值,先化简x ,y 的值是解题的关键.第1关 二次根式(题册部分)【课后练1】下列各式中,不属于二次根式的是( )A 0)xB C D【解答】解:当0aA ∴、属于二次根式,故本选项错误;B 、属于二次根式,故本选项错误;C 、属于二次根式,故本选项错误;D 、210x --<不属于二次根式,故本选项正确; 故选:D .【课后练2】实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,( )A .3a b -+B .1a b +-C .1a b --+D .1a b -++【解答】解:由数轴可知:102a b -<<<<,10a ∴+>,20b ->, ∴原式|1||2|a b =+--12a b =+-+ 3a b =-+, 故选:A .【课后练3】a 的值可能是( ) A .2- B .2C .32D .8【解答】解:0a ∴,且a故选项中2-,32,8都不合题意,a ∴的值可能是2. 故选:B .【课后练4】,那么x 的取值范围是( )A .12xB .12x <C .2xD .2x >【解答】解:由题意可得,10x -且20x ->,解得2x >. 故选:D .【课后练5】下列根式中,与是同类二次根式的是( )A .BC D【解答】与A 错误;=B 错误;C 错误;=是同类二次根式,D 正确; 故选:D .【课后练6】的结果是( )A .BC .D .3-【解答】解:原式6===. 故选:B .【课后练7】x 的取值范围是 .【解答】1200x x -⎧⎨≠⎩. 解得12x且0x ≠, 故答案为:12x 且0x ≠.【课后练8】实数a 化简后为 .【解答】解:由数轴可得,48a <<,∴310a a =-+- 7=,故答案为:7.【课后练9】先观察下列的计算,再完成:(11==;====请你直接写出下面的结果:= ;= ; (2)根据你的猜想、归纳,运用规律计算:1)+⨯.【解答】解:(12==;==(2)根据题意得:原式111==.故答案为:(12【课后练10】计算题:①②(2+-③④⑤⑥2314()22+⨯--.【解答】解:①原式==,②原式43=- 1=,③原式==1311=⨯ 143=,④原式==89=⨯ 72=,⑤原式328=-- 7=-.【课后练11】已知1a =,1b =,分别求下列各式的值.(1)22a b +; (2)b a a b+.【解答】解:当1a =,1b =时,(1)原式221)1)=+44=-+8=;(2)原式22a b ab+=22=82= 4=.【课后练12】化简求值(1)23)3)+;(2)已知x =-【解答】解:(1)原式59119=-+-16=-.(2)原式(2x =-,1212x ==+,∴原式1(2(1)xx x x -=--1(2x x =+,当2x =原式(2(2=-++9=-。

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