R


rotA ndS A t ds

斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a


C
[(1

b) a
y

b]dx

[b

(1

b) a
x]dy


D

2(1

b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2

x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2

y2 a2

1
dydz dydz ab （椭圆面积）

D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2

Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z) , R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式


(R y

Q z
)dydz
2a(a b)
解三 投影方法
将
:

x
2 y2 xz ab

a 1
2
投影到 xoy
面得投影曲线
C : x2 y2 a2 （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
I Pdx Qdy Rdz

[ y b(1 x)]dx [b(1 x) x]dy
Q x
dxdy

Q z
dydz


Q(
x,
y,
z
)dy,


R y
dydz

R x
dzdx


R(
x,
y,
z
)dz
,
R Q
P R
Q P


(
y

z
)dydz

( z

)dzdx x

( x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.

解二 化为参变量的定积分计算
令

x y

cos t sin t
则 z b(1 x ) b(1 cos t) a
2
I [a sin t b(1 cos t)](a sin t)
0
[b(1 cos t) a cos t]a cos t [a cos t a sin t]bsin t
div(rotA) 0
rot(gradu) 0
---------即旋度场是无源场 ---------即梯度场是无旋场
六、小结
cos cos cos
斯托克斯公式


x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy


x
P

y Q
z
Pdx Qdy Rdz
向.


三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n 分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是 的单位法向量.
刚体在每一点的线速度构成一线
速场，则向量 r OM x, y, z
在点 M 处的线速度场的旋度 等于角速度的 2 倍
L
o
v
M
解
由力学知道点
M
的线速度为

i jk
v r 1 2 3
由此可看出速 度场的旋度与 旋转角速度的来自观察旋度rot v
x
2
即
P
P
P P


dzdx z
y
dxdy




(
y

z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y

P z

fy


P z
dzdx

P y
dxdy



Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式


1
y
, 2
z 2,
2
3
关 系2.
.
五、向量微分算子


i

j

k
---------Hamilton 算子
x y z
u gradu
2u u gradu
(
i

j

k
)

(u
i

u
j

u
k)
x y z x y z
i jk
环流量



CA
ds



x
y
ds z
PQR
2. 旋度的定义:

i jk
称向量


为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR

i jk
旋度
rotA



x y z
PQR

(R

Q
)i

(P

R
)
j

(
Q

P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式


[(
R y

Q ) cos
z

(P z

R)cos
x

(Q x

P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
其中
的单位法向量为
n
y z
z x
x y
At

A
n

P cos

Qcos

Rcos
环流量


rotA

ds

Atds

Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
例转4动，设其一角刚速体度绕为过原点的1 ,某 2个,轴3
( x,y,z)
u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
zM
x
y
u( x, y, z) P( x, y0, z0 )dx Q( x, y, z0 )dy M0
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
四、物理意义---环流量与旋度

(P z

R x
)dzdx

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
证明 如图
设Σ 与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ 取

上侧,有向曲线 C 为Σ 的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以 张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维 单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有 一阶连续偏导数，则空间曲线积分
Pdx Qdy Rdz在G内与路径无关（或沿G内

任一闭曲线的曲线积分为0）的充要条件是 P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z

cos
i

cos
j

cos
k,
的单位切向量为




t cos i cos j cos k
斯托克斯公式的向量形式