L3 D14
x24
s.t.
g1( X )
180
9.78106 x1 4.096 107 x24
0
g2 ( X ) 75.2 x2 0
g3( X ) x2 40 0
g4 ( X ) x1 0
2. 多目标优化设计模型
多目标最优化问题的一般形式为: min( f (x1), f (x2 ),L L , fm (x))
uuuur
(
g1
(
x)L
L
gp (x))
h(x) (h1(x)L L hq (x))
多目标优化设计几何描述
注意，这里以及 之后的所有讲述 同时适合于线性 和非线性的多目 标优化
为满足所有目标G
的
i
参数x组成的参数空间
为根据按照目标函数F映射的
y组成的目标函数空间
3. 多目标优化问题解的特点
在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是 因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中， 任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化 问题是半有序的。
点 B1, B2 , B。3, 其B4 需要量分别为
b1, b2 , b3, b4
且
3
ai
，4 b已j 知
到
i
j
的A距i 离和B单j 位运价分别为
(km)和 (元di)j ,现要决定如ci何j 调运多少,才能使总的
吨,公里数和总运费都尽量少?
解: 设变量 xij , i 1,2,3; 表j 示1由,2,3,4运往 的货物Ai数,于是总
积为
,它x决1 *定x2重量,而梁的强度取决于截面
形
。
1 6
x1
*
x22
因此,容易列出 梁的数学模型:
min
x1 * x2
max
1 6
*
x1
*
x22
s.t. x12 x22 1
x1, x2 0
示例3 物资调运问题:
某种物资寸放三个仓库 A1, A里2,,A存3, 放量分别为
a1, a(2单, a3位:t);现要将这些物资运往四个销售
设X (1) , X (2)为多目标优化问题的两个可行解，其对应的 目标函数为
F ( X (1) ) f1( X (1) ), f2 ( X (1) ),L , fm ( X (1) )T F ( X (2) ) f1( X (2) ), f2 ( X (2) ),L , fm ( X (2) )T 若对于每一个分量，都有
2
1
F
D1=100 D2=80
x2
x1 L=1000
多目标优化设计模型
设计变量：第一段梁的长度x1，梁的内径x2
min F(X ) f1(X ), f2 (X )T
f1(
X
)
4
x1 ( D22
x22
)
(L
x1)(D12
x22 )
f2(X )
64
3 E
x13
(
D24
1
x24
1 D14
) x24
设计变量：产品A的件数x1，产品B的件数x2
目标函数 max f1(X ) 4x1 5x2 max f2 (X ) x1
示例2. 用直径为1(单位长)的圆木制成截面为矩形的 梁,为使重量最轻,而强度最大,问截面的高与宽应取 何尺寸?
解: 设矩形截面的高与宽分别 为x和1 , 这x2 时梁的面
gi (x) 0,i 1, 2.L , p
S.t.
hj (x) 0, j 1, 2,L , q
或者记作:min
uuuuur f (x)
xD
uuuur
uuuur
D=
x En | g(x) 0, h(x) 0
其中:
uuuuur f (x)
=(
uuuur
f1
(
x),L
L
fm (x)
)
g(x)
现在，对多目标规划方面的研究集中在以下几个方面: 一、关于解的概念及其性质的研究， 二、关于多目标规划的解法研究， 三、对偶问题的研究， 四、不可微多目标规划的研究， 五、多目标规划的应用研究。
1. 多目标优化设计示例
示例1：某工厂生产两种产品A和B,每件产品A需制造工时 和装配工时分别为1时和1.25时，每件产品B需制造工时和 装配工时分别为1时和0.75时，每月制造车间和装配车间 能够提供的最多工时为200时，另外，每月市场对产品A需 求量很大，而对产品B的最大需求量为150件，产品A和产 品B的售价分别为4元和5元，问如何安排每月的生产，最 大限度的满足市场需求，并产值最大？
1,2,3,4 1,2,3,4
示例4：如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要
求，已确定梁的总长为1000mm，第一段外径为80mm， 第二段外经为100mm，梁的端部受有集中力F＝12000N， 梁的内径不得小于40mm，梁的许用弯曲应力为180MPa，
确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。
第一节 概述
国际上通常认为多目标最优化问题最早是在1886年由法国经 济学家Pareto从政治经济学的角度提出的。多目标规划的真 正发达时期，并正式作为一个数学分支进行系统的研究，是 上世纪七十年代以后的事。
到现在为止，多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果， 而且在应用上其范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工 具在解决工程技术、经济、管理、军事和系统工程等众多方 面的问题也越来越显示出它强大的生命力。
fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2,L , m) 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1) f X (2)
大多数情况下，F ( X (1) )的某几个分量小于F ( X (2) )的 对应分量，
f j ( X (1) ) f j ( X (2) ) 但另外几个分量大于F ( X (2) )的对应分量
fl ( X (1) ) fl ( X (2) ) 则显然，X (1)与X (2)无法比较优劣。
f1
2
1 3
f2
4. 多目标优化方法分类 第一类：转化法。这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标 问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一 系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。
B j 吨公里数为
,总运费为
dij x,问ij 题优化设计模型
为
cij xij
i1 j1
i1 j1
34
min
dij * xij
i1 j1
34
min
cij * xij
s.t.
i1 j1 4
xij ai , i 1,2,3
i 1 3
xij
i 1xij 0, ibj, j 1,2,3; j