第7章 参数估计练习题7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？解：⑴已知25,40,5===x n σ样本均值的抽样标准差79.0410405≈===nx σσ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，410=x σ，%951=-α 96.1025.02==∴Z Z α边际误差55.1410*96.12≈==nZ E σα7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差；（3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。

解.已知.根据查表得2/αz =1.96 （1）标准误差：14.24915===nX σσ（2）．已知2/αz =1.96所以边际误差=2/αz *=ns 1.96*4915=4.2（3）置信区间：)(2.124,8.11596.149151202=*±=±ns Z x α7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差85414=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。

96.12=∂Z144.1674110085414*96.12==⋅∂nZ σ856.87818144.16741104560.2=-=-∂nZ x σ144.121301144.16741104560.2=+=+∂nZ x σ置信区间：（87818.856，121301.144）7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。

（1） 构建μ的90%的置信区间。

（2） 构建μ的95%的置信区间。

（3） 构建μ的99%的置信区间。

解；由题意知100=n , 81=x ,12=s .（1）置信水平为%901=-α，则645.12=αZ .由公式ns z x ⨯±2α974.18110012645.181±=⨯±=即(),974.82,026.79974.181=± 则的的%90μ置信区间为79.026~82.974 （2）置信水平为%951=-α， 96.12=αz由公式得ns z x ⨯±2α=81352.2811001296.1±=⨯± 即81352.2±=（78.648，83.352）， 则μ的95%的置信区间为78.648~83.352（3）置信水平为%991=-α，则576.22=αZ .由公式±x ns z ⨯2α=096.38110012576.281±=⨯±=即81 3.1±则的的%99μ置信区间为7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1）25=x ，5.3=σ，60=n ，置信水平为95%。

（2）6.119=x ，89.23=s ，75=n ，置信水平为98%。

（3）419.3=x ，974.0=s ，32=n ，置信水平为90%。

⑴,60,5.3,25===n X σ置信水平为95% 解：,96.12=αZ89.0605.396.12=⨯=nZ σα置信下限：-X 11.2489.0252=-=nZ σα置信上限：+X 89.2589.0252=+=nZ σα），置信区间为（89.2511.24∴⑵。

，置信水平为，%9875n 89.23s ,6.119===X 解：33.22=αZ43.67589.2333.22=⨯=ns Z α置信下限：-X 17.11343.66.1192=-=n s Z α置信上限：+X 03.12643.66.1192=+=ns Z α），置信区间为（03.12617.113∴⑶x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%根据t=0.1，查t 分布表可得645.1)31(05.0=Z .283.0)(2/=∂ns Z所以该总体的置信区间为x ±2/∂Z （)ns =3.419±0.283即3.419±0.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为3.136~3.702.7.6 利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间。

（1） 总体服从正态分布，且已知500=σ，15=n ，8900=x ，置信水平为95%。

（2） 总体不服从正态分布，且已知500=σ，35=n ，8900=x ，置信水平为95%。

（3） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为90%。

（4） 总体不服从正态分布，σ未知，35=n ，8900=x ，500=s ，置信水平为99%。

（1）解：已知500=σ，15=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12=αz)9153,8647(1550096.189002=⨯±=±nz x σα所以总体均值μ的置信区间为（8647，9153）（2）解：已知500=σ，35=n ，8900=x ，1-95=α%，96.12=αz)9066,8734(3550096.189002=⨯±=±nz x σα所以总体均值μ的置信区间为（8734，9066）（3）解：已知35=n ，8900=x ，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差∵置信水平1—α=90% ∴645.12=αz∴置信区间为)9039,8761(35500645.1812=⨯±=±ns z x α所以总体均值μ的置信区间为（8761，9039）（4）解：已知35=n ，8900=x ，500=s ，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置信水平1—α=99% ∴58.22=αz∴置信区间为)9118,8682(3550058.289002=⨯±=±ns z x α所以总体均值μ的置信区间为（8682，9118）7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h ）。

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

解：已知：3167.3=x 6093.1=s n=36 1.当置信水平为90%时，645.12=∂z ，4532.03167.3366093.1645.13167.32±=±=±∂ns z x所以置信区间为（2.88，3.76）2.当置信水平为95%时，96.12=∂z ，所以置信区间为（2.80，3.84）3.当置信水平为99%时，58.22=∂z ，7305.03167.3366093.158.23167.32±=±=±∂ns z x所以置信区间为（2.63，4.01）7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。

求总体均值95%的置信区间。

5445.03167.3366093.196.13167.32±=±=±∂ns z x已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=8为小样本，05.0=α，365.2)18(205.0=-t根据样本数据计算得：46.3,10==s x 总体均值μ的95%的置信区间为： 89.210846.3365.2102±=⨯±=±ns t x α，即（7.11，12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km ）数据见Book7.9。

求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但σ未知，n=16为小样本，α=0.05，131.2)116(2/05.0=-t 根据样本数据计算可得：375.9=x ，s=4.113 从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：191.2375.914113.4131.2375.92/±=⨯±=±ns t x α，即（7.18，11.57）。

7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm ，标准差为1.93cm 。

（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

解：已知,103=σn=36, x =149.5,置信水平为1-α=95%，查标准正态分布表得2/αZ =1.96.根据公式得： x ±2/αZ nσ=149.5±1.9636103⨯即149.5±1.9636103⨯=（148.9，150.1）答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1（3） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。

如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g 。

现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g ）见Book7.11。

已知食品重量服从正态分布，要求：（1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

（2） 如果规定食品重量低于100g 属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

(1)已知:总体服从正态分布，但σ未知。

n=50为大样本。

α=0.05，2/05.0Z =1.96 根据样本计算可知 X =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的95%的置信区间为45.032.10150/63.1*96.132.101/2/±=±=Z ±X n s α即（100.87，101.77）（2）由样本数据可知，样本合格率：9.050/45==p 。

该批食品合格率的95%的置信区间为： 2/αZ ±p n p p )1(-=0.950)9.01(9.096.1-±=0.9±0.08，即（0.82，0.98） 答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）7.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。