可得： PiBi =
1i =i - 1
XBi – XPi YBi – YPi
P1 O
； P1B1 =
B1 Pi
1
XB1 – XP1 YB1 – YP1
Bi
i
x
分析二：讨论一般性
已知P点的位置，求解B点； 建立B1与Bi之间的关系。
Bi
XB1 = XP1 + LPB cos 1
y （1′）
B1 Pi
i
YB1 = YP1 + LPB sin 1
XBi = XPi + LPB cos i
P1 （2′）
1
YBi = YPi + LPB sin i
O
x
将 1i =i - 1 代入上式（2’）：
XBi = XPi + LPB cos (1i + 1 ) YBi = YPi + LPB sin (1i + 1 )
分析过程：
❖ 机构类型：铰链四杆机构
曲柄摇杆机构：最短杆为连架杆
C
b2 B
1 a 1
A
c
3
d D
4
❖ 机构中各个构件的运动尺寸设计
已知：摇杆的长度
CD、摆角φ及行程速 比系数K
问题：设计曲柄摇
杆机构，求杆长、固 定铰链点位置。其中， 最短杆为连架杆
动画链接
作图过程
设计步骤 过程回放 结果校验
思考一下
1 i C1
A
C2 C3
D
x
XB1 = XA + LAB cos 1 YB1 = YA + LAB sin 1
(2)
XBi = XA + LAB cos i
(3)
YBi = YA + LAB sin i
假设：1i =i - 1
XBi = XA + LAB cos i = XA + LAB cos (1i + 1 )
x
XBi =XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 )
(6)
YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
得：
XBi YBi
=
XA
YA
+
cos1i sin1i
-sin 1i +cos1i
LAB cos 1 LAB sin 1
(7)
或： XBi – XA YBi – YA
D
根据上式一般取：A、D、B1、C1为未知数。 一般取第一个位置为未知数,即B1、C1
❖ (5) B1、 B２、 B３之间的关系？
位移矩阵法：求B1、B２、B３之间的关系
求B1与B的其他位置的关系
令： B1为：XB1、 YB1
y B1
Bi为：XBi 、 YBi
A为：XA 、 YA
分析一
O
Bi
B2 B3
平面连杆机构设计内容：
❖ 机构的类型选择。 ❖ 机构中各个构件的运动尺寸设计
1、机构的类型选择
多自由度机构 单自由度机构
多杆机构(六杆或八杆)
铰链四杆机构 四杆机构
带移动副的机构
2、机构中各个构件的运动尺寸设计
机构的运动尺寸：
是指对机构的运动有影响的尺寸 运动副之间的距离（如杆长） 固定铰链点的位置 滑块导路的方向
6.6.2平面连杆机构运动设计的位移矩阵法
位移矩阵法
❖ 是解析法的一种； ❖ 基本思想：根据给定机构运动设计要求，
建立机构设计的数学模型，即设计方程， 再利用计算机进行求解；
❖ 设计关键：建立设计方程，求解运动参
数。
讨论：如何建立设计方程？
讨论：如何建立设计方程？
确定未知数、建立未知数之间的关系
+ cos1i -sin 1i sin1i +cos1i
得刚体运动位移矩阵方程：
XB1 – XP1 YB1 – YP1
XP1
YP1
XB1 YB1
XBi
cos1i -sin1i XPi –XP1cos1i +YP1sin1i XB1
YBi = sin1i +cos1i YPi –XP1sin1i –YP1cos1i YB1
1
0
0
1
1
(8′) （6-32）
cos1i -sin1i XPi –XP1cos1i +YP1sin1i 令 D1i = sin1i +cos1i YPi –XP1sin1i –YP1cos1i
=
cos1i sin1i
-sin 1i +con1i
LAB cos 1 LAB sin 1
(8)
y B1 Bi
由式（2）得：
B2
LAB cos 1 = XB1 - XA LAB cos 1 = YB1 - YA
（9）
B3 1 i C1
将式（9）代入（8）得： O
A
XBi – XA YBi – YA
D
❖连杆上P、Q与铰链点A、B、C、D之间的
关系
已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、
P3Q3。
Q
C
P
B
C
b2 B 1 a1
A
c
3
d 4
D
P、Q、B、C 为同一个构件上的点，无相对运动。
Q1
P1
B1
C1
求解过程：
假设：铰链B、C
图解法求解过程：
Q1
D
P1
B1
C1
A
求解结果：四杆机构：A B1C1 D
-sin 1i +cos1i
XB1 - XA YB1 - YA
❖怎样求连杆位置之间的的关系?
(10)
y B1 Bi B2 B3
1 i C1
A
O
C2 C3
B1 Bi B2
D
B3
x
连杆位置关系
C2 C3
分析二：讨论一般性
❖1. 刚体运动的位移矩阵方程 y
假设：
B1为：XB1、 YB1 Bi为：XBi 、 YBi P1为：XP1、 YP1 Pi为：XPi 、 YPi
ABi =
XBi – XA YBi – YA
可得：
； AB1 =
XB1 – XA YB1 – YA
ABi = RΘ1i AB1
(12) （6-31′）
(10) C2
C3
D
x
小 节:
❖矢量旋转方程式(10)给出了连架杆位置 i与
位置1之间的关系；
XBi – XA YBi – YA
=
cos1i sin1i
Burmester理论
当给定刚体三个位置，刚体平面上任意一点都
为圆点
当给定刚体四个位置时，圆点和圆心点为三次曲
线，称为Burmester曲线
当给定刚体五个位置时，设计问题的解是确定
的：圆点可能有4个、或者2个，或者没有解！
结论：
铰链四杆机构最多可实现五个连杆精确位置，即：铰 链四杆机构实现连杆精确位置的最大数目为 5
杆长不变！
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2 （i=2,3,...,n) (1)
(xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2
讨论:
B1
B2
C2
C3
B1、 B２、B３哪个之间的关系？
C1
A
∠B1P12A=∠ C1P12D= 12 /2 连杆BC与机架AD对转动极P12所张的角度相等：
∠B1P12C1=∠ AP12D
比较：图解法与半角转动法
❖图解法（解法一）：优点是比较直观简
单，但在给定圆心点A、D的位置的情况 下确定圆点B、C就比较困难；
❖半角转动法（解法二）：无论是在哪一
种情况下作图都比较简单。
12 2
半角转动法
转动极: 转动极P12 就是a12和d12的交
点
动画演示
等视角定理
等视角定理：铰链四杆机构 ABCD中，两连架杆AB、CD 对转动极P12所张的角度相等 （或互为补角），并等于连杆 转角的一半；连杆BC与机架 AD对转动极P12所张的角度相 等（或互为补角）。
如图：两连架杆AB、CD对转 动极P12所张的角度相等并等 于连杆转角的一半：
试设计一偏置曲柄滑块机构（如图
所示），设已知其滑块的行程速比系 数K=1.5，滑块的冲程H=40mm， 偏距e=15mm
设计步骤
例6-6 设计一个铰链四杆机构ABCD，实
现连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。
分析过程
C
b2
c
❖机构的类型：
铰链四杆机构
B 1 a1
A
3
d 4
D
❖机构中各个构件的运动尺寸设计
y B1 Bi
1 i
A
O
= XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 )
同理：
YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
x (4)
(5)
yB1 Bi
1
i
OA
x
由式（4）、(5)
y B1 Bi
B2 B3
1 i C1
A
O
C2 C3
D
第六章 平面连杆机构的运动分析和设计（2）
.
6.6 平面连杆机构的运动设计
设计要求通常用在输
出构件（连杆或连架杆） 上的点或直线的一系列有 序的位置来描述。这些点 或直线位置叫做精确点或 精确位置。