数学 选修2-3
第一章 计数原理
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1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
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1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
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[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所 指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求 解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．
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2．二项式x－ 1x8的展开式中的第6项为(
)
A．－28x12
B．28x12
C．－56x12
D．56x12
解析： T6＝C58x8－5－ 1x5＝－56x12. 答案： C
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3.x＋21x8的展开式中x2的系数为________．
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即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得
n＝4.
8分
设(x－ 2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ck4x4－k(－ 2)k，
10分
由4－k＝2，得k＝2，即(x－ 2)4展开式中含x2的项为
T3＝C24x2(－ 2)2＝12x2.
12分
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1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C610
B．27C610
C．－9C610
D．9C610
解析： x6的系数为C410·(－ 3)4＝9·C410＝9·C610. 答案： D
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(x－ 2)n展开式的第二项与第四项分别为
T2＝C1nxn－1·(－ 2)＝－ 2·nxn－1，
2分
T4＝C3nxn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
4分
－ 依题意得－2
22nC3n＝12，
6分
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的项数．
解析：
Tr＋1＝C
r 100
(
r·31002－r·23r，
3
x)100－r·(
3 2
)r＝C
r 100
x100－
依题意有1002－r，3r ∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍
数，
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又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项 为0，公差为6，末项为96的等差数列，
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方法二：3 x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4 ＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4] ＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2.
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(2)方法一：3
x＋
1 4 x
＝(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2 1x2＋C34(3 x)· 1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
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－
1 2x
＋
1 16x2.
方法二： x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
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[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问 题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较 复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变 形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．
【错解】 第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得
n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－ 6 )9的展开式中x2项为第r＋
1项，则Tr＋1＝C
r 9
x9－r(－
6 )r，由9－r＝2得r＝7，则(x－
6 )9的
展开式中x2项为T8＝C79x2(－ 6)7＝－7 776 6x2.
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[问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的 吗？
[提示2] 因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项
式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选
b，则其余三个都选a，其方法有C
1 4
等于( )
A．(x－2)4
B．(x－1)4
C．x4
D．(x＋1)4
(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.
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解析： (1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4. (2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1 ＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1) ＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．
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[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用 多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b ＋6a2b2＋4ab3＋b4.
a，－21
看成 x
b，利
用二项式定理展开，也可以先将
x－2
1
4
x
化简后再展开．
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方法一：
x－2
1
x
4＝C
04(
x)4－C14(
x)3·21 x
＋C
2 4
(
x
)2·2
1
x
2－C
3 4
x
·21
x
3＋C
4 4
2
1
x
4＝x2－2x＋
3 2
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1．(1)求2x－23x25的展开式；
(2)求3 x＋ 1x4的展开式．
解析：
(1)方法一：
2x－23x2
5＝C
0 5
(2x)5＋C
1 5
(2x)4·－23x2
＋C25(2x)3－23x22＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)－23x24＋C55－23x25
(2)Tk＋1＝C
k 5
(
x
)5－k
－ 1 3 x
k＝C
k 5
(－1)kx
5 2
－
5k 6
，令
5 2
－
5k 6
＝
0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
答案： (1)A (2)－10
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◎设(x－ 6 )n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的 系数为________．
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3．(1)在
3
2x－
1
2
20的展开式中，系数是有理数的项共有
() A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
(2)设二项式
x－ 1 3 x
5的展开式中常数项为A，则A＝
________.
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解析：
(1)Tk＋1＝Ck20(3
2 n
(－2)2＋C3n
(－2)3＋…
＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C
0 n
(x＋1)n＋C
1 n
(x＋1)n－1·(－1)＋C
2 n
(x＋1)n－2·(－1)2
＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
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＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
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方法二：2x－23x25＝43x32－x1035 ＝321x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－ 243) ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.