2019-2020学年陕西省西安市莲湖区庆安中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程x2−8x−10=0中，一次项、常数项分别是()A. −8、−10B. −8x、−10C. 8x、−10D. 8、102.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE=3cm，则AF=()cmA. 1B. 2C. 3D. 43.8.若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是()A. m≤1B. m≤−1C. m≤1且m≠0D. m≥1且m≠04.定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”.如“947”就是一个‘‘V数”，若十位上的数字为5，则从4，6，8中任选两数，能与5组成“V数”的概率是()A. 16B. 14C. 13D.235.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=2.5cm，则矩形的对角线长为()A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm6.如图，正方形ABCD的边长为4，MN//BC分别交AB，CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是()A. 4B. 8C. 16D. 97.一边靠6m长的墙，其他三边用长为13m的篱笆围成的长方形鸡栅栏的面积为20m2，则这个长方形鸡栅栏的长和宽分别为()A. 长8m，宽2.5mB. 长5m，宽4mC. 长10m，宽2mD. 长8m，宽2.5m或长5m，宽4m8.方程x2−6x=10通过配方可表示成(x−a)2=10+b的形式，则a+b的值为()A. 12B. −12C. 6D. −69.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN=∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E，则BM⋅AN的最大值是()A. 172B. 10C. 17D.2010.如图，菱形ABCD边长为4，∠BAD=120°，E、F分别是AB，AD上的动点，且BE=AF，则下列结论正确的有几个()①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFEG =13．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，AE=2，DE=3AE，P是BD上一动点，则PA+PE的最小值为______ ．12.为提高学生足球水平，某市将开展足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排28场比赛，应邀请______多少个球队参赛？13.设a、b是一元二次方程x2+x−2014=0的两个根，则a2+2a+b=______．14.已知关于x的方程x2−(m−2)x+m−5=0，若两根之和为0，则m=_____．三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）15.用适当的方法解方程(1)2(x+2)2−8=0；(2)(x+3)2+3(x+3)−4=0．四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）16.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．17.某市特产大闸蟹，2016年的销售额是50亿元，因优质生态，销售额是逐年增加，2018年的销售额达98亿元，若2017、2018年每年销售额增加的百分率都相同．(1)求平均每年销售额增加的百分率；(2)某市这3年大闸蟹的总销售额是多少亿元？18.关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的一个根为2，求另一个根．19.有三张正面分别标有数字−3，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．(1)试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；(2)求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．20.惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，五月份销售256件．六、七月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件．设六、七这两个月月平均增长率不变．(1)求六、七这两个月的月平均增长率；(2)从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？21.已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．22.如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【解答】解：一元二次方程x2−8x−10=0的一次项、常数项分别是−8x，−10．故选B．2.答案：C解析：解：由已知D、E分别为AB、AC中点，BC，∴DE//BC，DE=12∵DE=3cm，∴BC=6cm，∵∠BAC=90°，F为BC中点，∴AF=1BC=3cm．2故选：C．由中位线性质得到BC，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可求得AF．本题考查三角形中位线和直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，解答时注意数形结合即可．3.答案：C解析：【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=(−2)2−4m≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．根据题意得m≠0且△=(−2)2−4m≥0，解得m≤1且m≠0．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．4.答案：C解析：解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，能与5组成“V数”的占2种(即658，856)，所以从4，6，8中任选两数，能与5组成“V数”的概率=26=13．故选C．先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出能与5组成“V数”的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．5.答案：C解析：解∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，AO=CO，BO=DO∴AO=BO∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°且AO=BO∴△ABO是等边三角形∴AO=BO=AB=2.5故选：C．根据矩形的性质可证△AOB是等边三角形，可得AO=2.5即可求AC的长．本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键．6.答案：B解析：【分析】本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点．阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积=正方形面积的一半即可．【解答】解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积．而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，即△AQD和△BCP的面积的和等于正方形的面积的一半，×42=8．故阴影部分的面积=12故选B．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题关键．根据长方形面积列出方程，再求解．【解答】解：设长方形的宽(与墙垂直的边)为x米，则长(与墙平行的边)为(13−2x)米，由题意得：x(13−2x)=20，解得：x1=4，x2=2.5，当x=4时，长为13−2×4=5(米)，当x=2.5时，长为13−2×2.5=8>6，不合题意舍去．这个长方形的长为5米，宽为4米．故选B．8.答案：A解析：【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，将一元二次方程x2−6x=10配方，可求出a、b，再代入代数式即可求解.【解答】解：x2−6x=10，x2−6x+9=10+9，(x−3)2=10+9，∴a=3，b=9，则a+b=12．故选A.9.答案：B解析：【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的性质和判定可以求得BM⋅AN的最大值．【解答】解：作NH⊥AM于点H，如下图所示，则∠NHM=90°，∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M在BC上，∠AMN=∠AMB，∴连接AC，则AC=2√5，AD//BC，∴∠DAM=∠AMB，∴∠DAM=∠AMN，∴△AMN是等腰三角形，∴AN=MN，AH=MH，∵∠ABM=∠NHM=90°，∠AMB=∠NMH，∴△ABM∽△NHM，∴BMHM =AMMN，∴BM⋅MN=AM⋅HM，∵点M在边BC上，AM=2HM，∴AM的最大值是AM=AC，此时AM=2√5，∴BM⋅MN的最大值是：2√5⋅√5=10，∵MN=AN，∴BM⋅AN的最大值是10，故选B．10.答案：A解析：【分析】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．①根据菱形的性质及∠BAD=120°，得出AB=BC，∠B=60°，∠CAF=60°，得出△ABC是等边三角形，利用SAS得出△BEC≌△AFC，正确；②由△BEC≌△AFC，得CE=CF，∠BCE=∠ACF，由∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°，得∠ACF+∠ECA=60°，所以△ECF是等边三角形，正确；③因为∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG，∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG，所以∠AGE=∠AFC，正确；④过点E作EM//BC交AC于点M，易证△AEM是等边三角形，则EM=AE=3，由AF//EM，则GFEG =AFEM=13，故④正确，【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠B=60°，∠CAF=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，又∵∠B=∠CAF=60°，BE=AF，△BEC≌△AFC(SAS)，故①正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°，∴∠ACF+∠ECA=60°，∴△ECF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG；∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG，∴∠AGE=∠AFC，故③正确；④过点E作EM//BC交AC于点M，易证△AEM是等边三角形，∵AB=4，BE=AF=1，∴EM=AE=3，∵EM//BC，AF//BC∴AF//EM，∴则GFEG =AFEM=13，故④正确；故①②③④都正确．故选：A．11.答案：10解析：解：如图，连接CE，交BD于P，连接AP，则此时PA+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，∴PA=PC，∴PA+PE=PC+PE=CE．∵AE=2，DE=3AE，∴DE=6，AD=8，∴CE=√DE2+DC2=√62+82=10，故PA+PE的最小值是10．故答案为：10．由正方形的性质得出A、C关于BD对称，根据两点之间线段最短可知，连接CE，交BD于P，连接AP，则此时PA+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，解此题通常是利用“两点之间线段最短”的性质得出．12.答案：8解析：解：设有x个队，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1x(x−1)=28，2解之得x=8．故答案是：8．，即可列方程．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数为x(x−1)2本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．13.答案：2013解析：解：∵a，b是一元二次方程x2+x−2014=0的两个根，∴a+b=−1，a2+a−2014=0，即a2+a=2014，则a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2014−1=2013．故答案是：2013．由a与b为已知方程的两根，利用根与系数的关系求出a+b的值，再将x=a代入方程得到a2+a的值，将所求式子变形后，把各自的值代入即可求出值．此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．14.答案：2解析：【分析】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．根据根与系数的关系得出m−2=0，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程x2−(m−2)x+m−5=0的两根之和为0，∴m−2=0，解得：m=2，故答案为2．15.答案：解：(1)方程变形得：(x+2)2=4，开方得：x+2=2或x+2=−2，解得：x1=0，x2=−4；(2)分解因式得：(x+3−1)(x+3+4)=0，解得：x1=−2，x2=−7．解析：此题考查了解一元二次方程−因式分解法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．(1)方程变形后，开方即可求出解；(2)方程因式分解后，利用两数相乘积为零两因式中至少有一个为零，转化为两个一元一次方程来求解．16.答案：解：(1)证明：∵DE//BC，DF//AB，∴四边形BEDF为平行四边形，∴∠1=∠3，.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BF=DF，∴四边形BEDF为菱形；(2)过点D作DG⊥BC于点G，则∠BGD=90°，∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，由(1)知，BF=DF，∠2=30°，DF//AB，∴∠DFG=∠ABC=60°．∴在Rt△BDG中，DC=12，DG=1BD=6，2∴在Rt△FDG中，DF=4√3，∴BF=DF=4√3，∴菱形BEDF的面积=BF⋅DG=24√3．解析：本题考查菱形的性质及判定，平行四边形的性质与判定．(1)先根据两组对边平行判定为平行四边形，再证明得到一组邻边相等，从而判定为菱形；(2)过点D作DG⊥BC于点G，则∠BGD=90°，进一步求得BF=DF=4√3，计算可得答案．17.答案：解：(1)设平均每年增加的百分率为x，根据题意得：50(1+x)2=98，解得：x1=0.4，x2=−2.4(不符合题意，舍去)，答：平均每年销售额增加的百分率为40%．(2)2017年的销售额是：50×(1+0.4)=70．所以3年总销售额为：50+70+98=218(亿元)．答：某市这3年大闸蟹的总销售额是218亿元．解析：(1)增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果设平均增长率为x，根据“2018年的销售额达98亿元”，即可得出方程．(2)利用(1)中求得的增长率得到：2017年的销售额是：50×(1+0.4)=70，所以3年总销售额为：50+70+98=218．本题考查一元二次方程的应用．关于平均增长率问题，可设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．18.答案：解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根，∴△=4−4(2k−4)>0，解得：k<5；2(2)若方程的一个根为2，设方程的另一根为x2，则2+x2=−2，解得x2=−4．所以方程的另一根为−4．解析：(1)根据方程有两个不相等的实数根可得△=4−4(2k−4)>0，解不等式求出k的取值范围；(2)根据方程有一个根是2，再设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系列式计算即可．此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，①△>0时，方程有两个不相等的实数根；②△=0时，方程有两个相等的实数根；(3)△<0时，方程没有实数根；(4)x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．19.答案：解：(1)画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中数字之积为负数的有4种结果．∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为49．(2)在(1)中所列9种等可能的结果中，数字之和为非负数的有6种，∴两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为69=23．解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得；(2)根据(1)中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得．20.答案：解：(1)设六、七这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256(1+x)2=400，解得：x1=0.25，x2=−2.25(不合题意舍去)．答：六、七这两个月的月平均增长率为25%；(2)设当商品降价m元时，商品获利2640元，根据题意可得：(40−30−m)(400+10m)=2640，解得：m1=4，m2=−34(不合题意舍去)．答：当商品降价4元时，商品获利2640元．解析：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．(1)由题意可得，五月份的销售量为：256件；设六月份到七月份销售额的月平均增长率为x，，则六月份的销售量为：256(1+x)；七月份的销售量为：256(1+x)(1+x)，又知七月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；(2)利用销量×每件商品的利润=2640求出即可．21.答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ACB=90°DC//AB，∴∠DCE=∠CEB，∵CE平分∠DCB，∴∠BCE=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠CEB，∴BE=BC，∵∠DCE=45°，∠OCE=15°，∴∠DCO=30°，∴∠BCO−90°−30°=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，∴AO=OC=CO=BO，∴△BOC是等边三角形，∴BC=OB=BE，∵DC//AB，∴∠CAB=∠DBA=30°，∴∠BEO=∠BOE=12(180°−∠DBA)=12×(180°−30°)=75°．解析：根据矩形性质得出∠DCB=90°，AB//CD，AO=OC=OB=OD，求出BC=BE，得出等边三角形COB，得出BO=OE，求出∠OBE=30°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了矩形性质，平行线性质，等腰三角形性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．22.答案：解：四边形AECF是平行四边形．证明：∵矩形ABCD中，AB//DC，∴∠DCE=∠CEB，∵∠DCE=∠BAF，∴∠CEB=∠BAF，∴FA//CE，又矩形ABCD中，FC//AE，∴四边形AECF是平行四边形．解析：证得FA//CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．。