初一数学经典题型解析
1、如图，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115 °，
那么∠ 2 的度数是（）
A。

95° B 。

85°C。

75° D 。

65°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：根据题画出图形，由直尺的两对边AB 与 CD 平行，利用两直线平
行，同位角相等可得∠1=∠ 3，由∠ 1 的度数得出∠ 3 的度数，又∠ 3 为三角形
EFG 的外角，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和得到
∠ 3=∠ E+∠ 2，把∠ 3 和∠ E 的度数代入即可求出∠ 2 的度数．
解答：已知： AB ∥ CD ，∠ 1=115°，∠ E=30°，
求：∠ 2 的度数？
解：∵ AB ∥ CD （已知），且∠1=115°，
∴∠ 3=∠ 1=115°（两直线平行，同位角相等），
又∠ 3 为△ EFG 的外角，且∠E=30°，
∴∠ 3=∠ 2+∠ E，
则∠ 2=∠ 3﹣∠ E=115°﹣ 30°=85°．
故选 B．
点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的
性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握性
质是解本题的关键．
2、如图， AB ∥ CD ， DE 交 AB 于点 F，且 CF⊥ DE 于点 F，若∠ EFB=125°，
则∠ C=35°．
考点：平行线的性质．
专题：计算题
分析：根据对顶角相等，得出∠AFD= ∠ EFB ，由∠ EFB 的度数求出∠AFD 的
度数，再根据垂直的定义得到∠ CFD=90°，利用∠ AFD ﹣∠ CFD 得出∠ AFC 的度数，最后由两直线平行内错角相等，即可得到所求的角的度数．
解答：
解：∵∠ EFB=125°（已知），
∴∠ AFD= ∠EFB=125°（对顶角相等），
又∵ CF⊥ DE （已知），
∴∠ CFD=90°（垂直定义），
∴∠ AFC= ∠ AFD ﹣∠ CFD=125° ﹣ 90°=35°，
∵ AB ∥ CD （已知），
∴∠ C=∠AFC=35°（两直线平行内错角相等）．
故答案为： 35
点评：此题考查了平行线的性质，垂直定义，以及对顶角的性质，利用了转化的数学思想，其中平
行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练
掌握平行线的性质是解本题的关键．
3、如果关于x 不等式组
范围是 24＜ b≤32．
的整数解仅为1， 2， 3，则 a 的取值范围是0＜ a≤9， b 的取值考点：一元一次不等式组的整数解；不等式的性质；解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：求出不等式的解集，找出不等式组的解集，根据已知和不等式组的解集得出 0＜≤1，3＜≤4，求出即可．
解答：解：，
由①得： x≥，
由②得： x＜，
∴不等式组的解集是≤x＜，
∵不等式组的整数解是1， 2， 3．
∴0＜≤1， 3＜≤4，
解得： 0＜ a≤9， 24＜ b≤32，
故答案为： 0＜ a≤9， 24＜ b≤32．
点评：本题考查了对不等式的性质，解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解等知识点
的理解和掌握，关键是根据不等式组的解集和已知得出0＜a≤9， 24＜ b≤32．
4、已知：A。

-1 a2﹣ 4b﹣ 4=0， a2+2b2=3，则
B。

0C。

1/2 D 。

1
的值为（）
考点：因式分解的应用．
专题：计算题．
分析：先根据a2﹣ 4b﹣ 4=0，易求a2=4b+4 ①，再把①代入已知条件a2+2b2=3，可求2b2+4b= ﹣ 1，然后把①代入所求代数式，对此代数式化简可得结果2b2+4b ，进而可知其结果．
解答：解：根据a2﹣ 4b﹣4=0 可得
a2=4b+4①，
把①代入a2+2b2=3 得
4b+4+2b2=3 ，
那么 2b2+4b= ﹣ 1，
把①代入a2b+2b 中可得
a2b+2b=（4b+4）b+2b=2b2+4b=﹣1．
故选 A．
点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是由已知条件得出a2=4b+4，并注意整体代入．
同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。

平行线是初中平面几何最基本的，也是非常
重要的图形。

在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能
使证明顺畅、简洁添加平行线证题，一般有如下四种情况。

1为了改变角的位置
大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内
角互补。

利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的
需要。

例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点，且 BP＝ CQ，A 为 BC 外一动点 (如图 1)。

当点 A 运动到使∠ BAP ＝∠CAQ 时，△ ABC 是什么三角形？试证明你的结论。

答：当点A运动到使∠ BAP＝∠ CAQ时，△ ABC为等腰三角形。

证明：如图1，分别过点P、 B 作 AC 、AQ 的平行线得交点D。

连结 DA 。

在△ DBP ＝∠ AQC 中，显然∠ DBP ＝∠ AQC ，∠ DPB ＝∠ C。

由 BP＝CQ，可知△ DBP ≌△ AQC 。

有 DP＝AC ，∠ BDP＝∠ QAC 。

于是， DA ∥ BP，∠ BAP ＝∠ BDP 。

则 A 、D 、 B、 P 四点共圆，且四边形 ADBP 为等腰梯形。

故 AB ＝ DP。

所
以 AB＝AC。

这里，通过作平行线，将∠ QAC“平推”到∠ BDP 的位置。

由于 A 、D 、B、 P 四点共圆，使证明很顺畅。

例 2 如图 2，四边形 ABCD 为平行四边形，∠BAF ＝∠ BCE 。

求
证：∠ EBA ＝∠ ADE 。

证明：如图2，分别过点 A 、B 作 ED 、 EC
的平行线，得交点P，连 PE。

由 ABCD ，易知△ PBA ≌△ ECD 。

有
PA ＝ ED， PB＝EC。

显然，四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形。

有
∠BCE ＝∠ BPE，∠ APE ＝∠ ADE 。

由∠ BAF ＝∠ BCE ，可知∠ BAF ＝∠ BPE 。

有 P、 B、 A 、E 四点共圆。

于是，∠ EBA ＝∠ APE 。

所以，∠ EBA ＝∠ ADE 。

这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过P、B 、 A 、 E 四点共圆，紧密联系起来。

∠APE 成为∠ EBA 与∠ ADE 相等的媒介，证法很巧妙。

2为了改变线段的位置
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添加平行线，将某些
线段“送”到恰当位置，以证题。

例 3 在△ ABC 中， BD、 CE 为角平分线， P 为 ED 上任意一点。

过
P 分别作 AC 、 AB 、BC 的垂线， M 、 N 、Q 为垂足。

求证：
PM ＋PN＝ PQ。

证明：如图 3，过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F，过点 F 作 BC 的平
行线分别交 PQ、 AC 于 K 、 G，连 PG。

由 BD 平行∠ ABC ，可知点 F 到 AB 、 BC
两边距离相等。

有KQ＝ PN。

显然，＝＝，可知PG∥EC。

由 CE 平分∠ BCA ，知 GP 平分∠ FGA 。

有 PK＝ PM。

于是，
PM ＋PN＝ PK＋ KQ ＝PQ。

这里，通过添加平行线，将PQ“掐开”成两段，证得PM ＝PK ，就有 PM ＋PN＝ PQ。

证法非常简捷。

3 为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中，可以通过添加平
行线，实现某些线段比的良性转化。

这在平面几何证题中是会经常遇到的。

例 4 设 M1 、M2 是△ ABC 的 BC 边上的点，且 BM1 ＝CM2 。

任作一直线
分别交 AB 、 AC 、 AM1 、 AM2 于 P、Q、N1 、N2。

试证：
＋＝＋。

证明：如图 4，若 PQ∥ BC，易证结论成立。

若PQ与BC不平行，设PQ
交直线 BC 于 D。

过点 A 作 PQ 的平行线交直线BC 于 E。

由 BM1 ＝CM2 ，可知 BE ＋ CE＝ M1E ＋
M2E ，易知
＝，＝，
＝，＝。

则＋＝＝＝＋。

所以，＋＝＋。

这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE ，于是问题迎刃而解。