2017年省市泰兴市中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）1．2017的倒数是（）A．B．﹣C．2017 D．﹣20172．从国家旅游局获悉，2017年春节期间，全国共接待游客3.44亿人次，实现旅游总收入0元．将0元用科学记数法表示为（）A．4.233×103元 B．0.4233×104元C．42.33×1010元D．4.233×1011元3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（）A．长方体B．圆锥 C．圆柱 D．球5．若干名同学制作卡通图片，他们制作的卡通图片数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片的数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．如图，半径为1的半圆的圆心在原点，直径AB在x轴上，过原点的任意一条半径与半圆交于点P，过P作PN垂直于x轴，N为垂足，则∠OPN的平分线过定点（）A．（0，﹣1）B．（0，﹣）C．（0，﹣）D．（0，﹣）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．﹣8的立方根是．8．如图放置的一个正五边形ABCDE和正方形ABFG边长相等，则∠1= 度．9．不等式组的解集是．10．如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为．11．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于度．12．二次函数y=x2﹣2x+3的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二次函数的解析式为．13．如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是．14．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值围是．15．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．16．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是3和5，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17．（1）计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|﹣|﹣（π﹣2017）0（2）化简：（﹣x+1）÷．18．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：（1）这次活动一共调查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角的度数；（4）若该学校有1200人，则该学校选择足球项目的学生人数约是多少？19．如图，转盘A、B中各个扇形的面积相等，且分别标有数字．小明和小丽玩转转盘游戏，规则如下：分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，将两个指针所指扇形的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次）．（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数及数字之积为5的倍数的概率；（2）小亮和小丽想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得3分；数字之积为5的倍数时，小丽得4分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，请你修改得分规定，使游戏双方公平．20．为响应“足球进校园”的号召，某学校决定在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种品牌足球比甲种品牌足球每只贵10元，该校欲分别花费2000元、1200元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球的数量的2倍．求甲、乙两种足球的单价．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF ∥BC，交DE的延长线与点F，连接BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度数．22．如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C 周围50海里围是暗礁区．（1）求B处到小岛C的距离（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.73）23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．24．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1=的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AE⊥BD，求BE长；（3）若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，求BE的长．26．如图，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠BCO=45°，点M为线段BC上异于B、C的一动点，过点M与y轴平行的直线交抛物线于点Q，点R为线段QM上一动点，RP⊥QM交直线BC于点P．设点M的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当m=2时，△PQR为等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）①求PR+QR的最大值；②求△PQR面积的最大值．2017年省市泰兴市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）1．2017的倒数是（）A．B．﹣C．2017 D．﹣2017【考点】17：倒数．【分析】依据倒数的定义求解即可．【解答】解：2017的倒数是．故选：A．2．从国家旅游局获悉，2017年春节期间，全国共接待游客3.44亿人次，实现旅游总收入0元．将0元用科学记数法表示为（）A．4.233×103元 B．0.4233×104元C．42.33×1010元D．4.233×1011元【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0用科学记数法表示为：4.233×1011．故选：D．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．4．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（）A．长方体B．圆锥 C．圆柱 D．球【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，根据该几何体的主视图和左视图都是长方形，可得该几何体可能是圆柱体．【解答】解：∵如图所示几何体的主视图和左视图，∴该几何体可能是圆柱体．故选C．5．若干名同学制作卡通图片，他们制作的卡通图片数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片的数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】根据条形统计图计算平均数、中位数和众数并加以比较．【解答】解：平均数a=（4×4+5×3+6×3）÷10=4.9，中位数b=（5+5）÷2=5，众数c=4，所以b＞a＞c．故选：B．6．如图，半径为1的半圆的圆心在原点，直径AB在x轴上，过原点的任意一条半径与半圆交于点P，过P作PN垂直于x轴，N为垂足，则∠OPN的平分线过定点（）A．（0，﹣1）B．（0，﹣）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】设∠OPN的角平分线与y轴交于M点，PM是角平分线，所以∠1=∠2，PN垂直于x 轴，所以，PN平行于y轴，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以OP=OM，即OM等于半径，所以M点坐标为（0，﹣1）．【解答】解：如图，设∠OPN的角平分线与y轴交于M点，∵PM是角平分线，∴∠1=∠2，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP=OM，即OM等于半径，∴M点坐标为（0，﹣1）．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．﹣8的立方根是﹣2 ．【考点】24：立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．8．如图放置的一个正五边形ABCDE和正方形ABFG边长相等，则∠1= 18 度．【考点】L3：多边形角与外角．【分析】直接利用正五边形以及正六边形角求法得出答案即可．【解答】解：∵正五边形的每一个角为：108°，正六边形的每一个角为：120°，∴∠1=120°﹣108°=18°．故答案为：18．9．不等式组的解集是﹣1＜x＜2 ．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＞﹣1，解②得：x＜2．则不等式组的解集是：﹣1＜x＜2．故答案是：﹣1＜x＜2．10．如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为0.600 ．【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．【解答】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在0.600附近，估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为0.600．故答案为：0.600．11．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于130 度．【考点】K7：三角形角和定理；JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB=90°得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．【解答】解：∵m∥n，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°．∵∠ACB=90°，∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°，∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．故答案为：130．12．二次函数y=x2﹣2x+3的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二次函数的解析式为y=x2+4 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先把函数化为顶点式的形式，再根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+3可化为y=（x﹣1）2+2，∴抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x﹣1+1）2+2+4，即y=x2+4．故答案为：y=x2+4．13．如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是2π+2 ．【考点】MO：扇形面积的计算；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．【解答】解：∵OA=AC=2，∴AB=BC=CD=AD=，OC=4，S阴影=+=2π+2，故答案为：2π+2．14．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值围是m＞﹣．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＞﹣．故答案为m＞﹣．15．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．【解答】解：设小正方形的边长为1，则由勾股定理得：BC==5，AC==，∵S△ABC=S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA=﹣1×1﹣﹣=，∴=，∴AN=1，∴sin∠ACB===，故答案为：．16．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是3和5，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为．【考点】LE：正方形的性质；KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理．【分析】通过作辅助线可得△ADM≌△ENM，得出FN=1，进而可求解其结论．【解答】解：连接DM并延长交EF于N，如图，∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，∴AD∥BG，EF∥BG，∴EF∥AD，∴∠NEM=∠DAM，在△ADM和△ENM中，∴△ADM≌△ENM，∴AD=NE=3，DM=MN，∵EF=5，∴FN=2，∵DF=FC﹣CD=2，∴FN=FD，∴FM是等腰直角△DFN的底边上的中线，所以FM=DN=．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17．（1）计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|﹣|﹣（π﹣2017）0（2）化简：（﹣x+1）÷．【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的加减法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）（﹣）﹣2+2cos30°﹣|﹣|﹣（π﹣2017）0=9+2×﹣﹣1=9+﹣1=8；（2）（﹣x+1）÷===．18．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：（1）这次活动一共调查了250 名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角的度数；（4）若该学校有1200人，则该学校选择足球项目的学生人数约是多少？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）由“足球”人数及其百分比可得总人数；（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；（3）用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以360°即可；（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：80÷32%=250（人）；（2）选择“篮球”的人数为：250﹣80﹣40﹣55=75（人），选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：×360°=108°，（3）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1200×32%=384（人）．19．如图，转盘A、B中各个扇形的面积相等，且分别标有数字．小明和小丽玩转转盘游戏，规则如下：分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，将两个指针所指扇形的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次）．（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数及数字之积为5的倍数的概率；（2）小亮和小丽想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得3分；数字之积为5的倍数时，小丽得4分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，请你修改得分规定，使游戏双方公平．【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出3的倍数与5的倍数，分别求出概率即可；（2）该游戏不公平，分别求出两人的得分，比较即可；修改规则使其概率相等即可．【解答】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：4 5 61 （1，4）（1，5）（1，6）2 （2，4）（2，5）（2，6）3 （3，4）（3，5）（3，6）可得表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为；数字之积为5的倍数的有三种，其概率为=；（2）这个游戏对双方不公平，∵小亮平均每次得分为×3=，小丽平均每次得分为×4=，∵≠，∴游戏对双方不公平；修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小丽得5分．20．为响应“足球进校园”的号召，某学校决定在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种品牌足球比甲种品牌足球每只贵10元，该校欲分别花费2000元、1200元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球的数量的2倍．求甲、乙两种足球的单价．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设甲种足球的单价为x元，则乙种足球的单价为（x+10）元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可．【解答】解：设甲种足球的单价为x元，则乙种足球的单价为（x+10）元，根据题意，得=2×，解这个方程，得x=50，经检验，x=50是所列方程的解．∴x+10=60．答：甲种足球的单价为50元，则乙种足球的单价为60元．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF ∥BC，交DE的延长线与点F，连接BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度数．【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；（2）根据已知条件得到▱ADBF是菱形，根据菱形的性质得到AB⊥DF，根据全等三角形的性质得到AC=AE=AB，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠BDE，在△AEF与△BED中，，∴△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形；（2）解：∵∠ADF=∠BDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，∴▱ADBF是菱形，∴DF=2DE，AE⊥DF，∵DF=2CD，∵∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE=AB，∴∠A BC=30°．22．如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C 周围50海里围是暗礁区．（1）求B处到小岛C的距离（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.73）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）先证明∠CAB=∠ACB，可得CB=AB，再根据路程=速度×时间就是健康求解；（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，根据锐角三角函数的概念求出CE，与50海里比较即可．【解答】解：（1）由题意得∠CBD=60°，∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴CB=AB=40×1.5=60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，∵CE=CB×sin∠CBE=60×sin60°=30≈51.96海里，∴CE＞50，∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．【分析】（1）连接OC．根据垂径定理得到AE=CE，根据全等三角形和切线的性质得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到结论；（2）设AD=x，根据三角函数的定义得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC．∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DC=DA，在△OCD与△OAD中，，∴△OCD≌△OAD，∵FD切⊙O于D，∴∠OCD=∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）设AD=x，∵tan∠F=，OC=1，∴在Rt△OCF中， =，∴FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，∴在Rt△OCF中，FO2=FC2+CO2，∴（2x﹣1）2=5，解得x1=，x2=（舍去），即 AD=．24．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1=的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当x为何围时，y1＞y2；（3）求△PAB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把x=4代入y2=x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP，S△PAB=2S△AOP．求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP=，则S△PAB=2S△AOP=15．【解答】解：（1）把x=4代入y2=x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y1=，得k=4．反比例函数的表达式为y1=；（2）∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．y1=中，当x=1时，y=4，∴P（1，4）．设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，则，解得．故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC•AR+OC•PS=×3×4+×3×1=，∴S△PAB=2S△AOP=15．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AE⊥BD，求BE长；（3）若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，求BE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，证出∠BAE=∠DAF，即可得出结论；（2）证明△ABE∽△DAB，得出对应边成比例，即可得出答案；（3）①当AE=AM时，证明△AEF≌△CEF（AAS），得出AE=CE，设BE=x，则AE=CE=4﹣x，Rt △ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，则AN=MN=BE=x，EN∥DF，由（1）得：△ABE∽△ADF，得出对应边成比例求出DF=x，由平行线证明△EMN∽△FMD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF．（2）解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，∵AE⊥BD，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠ABD=∠AEB，∴∠AEB=∠ABD，又∵∠ABE=∠BAD=90°，∴△ABE∽△DAB，∴，即，解得：BE=；（3）解：分两种情况：①当AE=AM时，∠AEF=∠AME，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∵AD∥BC，∴∠AME=∠CEF，∴∠AEF=∠CEF，在△AEF和△CEF中，，∴△AEF≌△CEF（AAS），∴AE=CE，设BE=x，则AE=CE=4﹣x，Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=；②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，如图所示：则AN=MN=BE=x，EN∥DF，由（1）得：△ABE∽△ADF，∴，即，解得：DF=x，∵EN∥DF，∴，即，解得：x=或x=﹣6（舍去），∴BE=；综上所述，若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，BE长为或．26．如图，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠BCO=45°，点M为线段BC上异于B、C的一动点，过点M与y轴平行的直线交抛物线于点Q，点R为线段QM上一动点，RP⊥QM交直线BC于点P．设点M的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当m=2时，△PQR为等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）①求PR+QR的最大值；②求△PQR面积的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可先求得C点坐标，利用∠BCO=45°可求得B点坐标，代入抛物线解析式可求得a，可求得抛物线解析式；（2）可先求得Q的坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，设出P点坐标，则可表示出PR、QR的长，由等腰三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；（3）①由题意可知PR=RM，故PR+QR=MQ，设出可用m表示出Q点坐标，则可表示出MQ的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；②用PR表示出△PQR的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．【解答】解：（1）在y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，令x=0可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），即OC=3，∵∠BCO=45°，∴OB=OC=3，∴B（3，0），把B点坐标代入抛物线解析式可得9a﹣3（a+1）﹣3=0，求得a=1，∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当m=2时，则M（2，0），把x=2代入抛物线解析式可得y=﹣3，∴Q（2，﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC表达式为y=x﹣3，∴可设P（p，p﹣3），则PR=2﹣p，QR=p﹣3﹣（﹣3）=p，∵PR=QR，∴2﹣p=p，解得p=1，∴P（1，﹣2）；（3）①由（2）可知M（m，m﹣3），Q（m，m2﹣2m﹣3），∵PR⊥MQ，∴∠MPR=45°，∴MR=PR，∴PR+QR=PR+MR=QM=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m=时，PR+QR取最大值；②∵PR+QR的最大值为，∴S△PQR=PR•QR≤PR（﹣PR）=﹣（PR﹣）2+，∵＜0，∴当PR=时，△PQR的面积取得最大值．。