第4章图论
综合练习
一、单项选择题
1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．
(A) L可以不是简单路径，而是基本路径
(B) L可以既是简单路径,又是基本路径
(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径
(D) L可以是简单路径，而不是基本路径
答案：A
2．下列定义正确的是( )．
(A) 含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图
(C) 含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图
答案：D
3．以下结论正确是 ( )．
(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图
(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n
(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图
(D) 图中的基本回路都是简单回路
答案：D
4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．
(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)答案：B
5．下列数组能构成简单图的是( )．
(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)
答案：C
6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3
答案：C
7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．
(A)
2)1
(+
n
n
(B)
2)1
(-
n
n
(C) n (D)n(n+1)
答案：B
8．以下命题正确的是( )．
(A) n (n1)阶完全图K n都是欧拉图
(B) n(n 1)阶完全图K n都是哈密顿图
(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树
(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图
答案：C
10．下列结论不正确是( )．
(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点
(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点
(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度
(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于
出度 答案：D
11．无向完全图K 4是（ ）．
（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B
12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A
13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．
(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A
14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C
二、 填空题
1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：0
2．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：4
3．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －1
4．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点
5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：4
6．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度
7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则
G 一定是哈密顿图．
答案：V ≥
8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．
答案：12
三、化简解答题
1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),
( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． 1 v 2 v 6 v 5
3 v 4
图2
•
2 2
3 • 1 • 7 9 2
• 8 • 6 图1
(1) 画出图G 的图形；
(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．
(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．
(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中
V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}
试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多
重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.
所以，图G 有9个结点．作图如图3．
四、计算题
1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
解：设图G 有x 个结点，由握手定理
21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．
满足该条件的简单无向图如图4所示
2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f
的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．
解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用
克鲁斯克尔算法：
第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4 第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23
如图6．权为1+4+3+9+23=40
3．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？
解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶
点．
由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶
五、证明题
1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．
即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．
a b e
c d 图3
图4
b • 23 1
c • • a 4 • f 9 3
d • •
e 图6
b •
23 1 15 c • 25 •a 4 • f 28 9 16 3 d • 15 • e 图5。