（一）结构简图
为了建立直动式溢流阀的数学模型，需要首先画出它的结构简图。
结构简图并不代表所研究对象的具体结构，但是要能反映出该研究对象的物理特征，以能正确的写出数学模型。
直动式溢流阀的结构简图见图1-1。
系统中的工作油液在压力p下，以流量q进入溢流阀，其中一部分流量q经阀口排人油箱，另一部分流量流经阻尼空进入阀芯地部，以控制阀芯发开口量x。
因为阻尼孔有液阻R，油液流经阻尼孔时有压力消耗，所以阀芯地部的油压Pa 可能与系统中的压力p不一样。
阀芯上部受弹簧力作用，弹簧刚度为K弹，阀芯的下部有控制油压的作用力，承压面积为A，阀口处液流使阀芯受有液动力，其中稳态液动力的作用可以看成是弹簧的附加刚度K动，阀芯等运动件质量为m，在运动中有关心。
有关变量和
量都注在图1-1中
直动溢流阀的结构简图
（二）在动态分析中所考虑的因素
在一个研究对象中，影响动态性能的因素是比较多的。
在分析时，这些因素不可能都考虑，也没有必要都考虑，但是影响动态性能的主要因素必须考虑。
有些因素对动态性能虽有影响，但影响不大，为了使分析研究简化起见，这些因素就可以忽略掉。
在本例中，考虑的因素有：阀芯等运动件的质量，弹簧的刚度，阻尼孔处的液阻，阀口处的流量特征以及阀口液流产生的稳态液动力等。
同时对一些因素予以忽略。
因一般阀口处的排油直接回油箱，且回油管道较短，所以排油管道中的液阻忽略不计，同时忽略了与排油腔相通的阀芯顶部容腔油液的作用。
如果回油管较长，或排油管路中还有其他元件，则要考虑它们的影响。
油液的可压缩性对动态性能是有影响的，但在本例中，如阀芯底部的容腔等，容积都很小，其中液体的可压缩性影响不大，所以可以忽略不计。
溢流阀中液流通道很短，
所以其中液流运动中惯性力可以忽略不计。
此外，为了简化起见，也忽略了阀芯与阀套配合间隙处的泄漏，阀芯运动中的摩擦阻力以及液流的瞬态液动力等。
（三）数学模型的建立
建立所研究对象的数学模型，就是用数学方程式来描述所研究对象在动态过程中各参量之间的相互关系。
在液压系统中建立数学模型，一般从液流连续性方程和运动受力平衡方程这两个方程式出发。
在液流连续性方程中，有时要牵涉但液体经过阀口或小孔的流量问题，所以有时也把有关的流量方程单独写出来。
1．液流连续方程
从图1-1可以写出直动式溢流阀的液流连续方程如下：
dx
q q A
dt
=-溢 （3-1） 因为在传递函数值中，变量的初始值为零，所以可将各变量写成在稳态值附近的增量形式，若稳态值用脚标“0”表示，增量用∆表示，则史（3-1）可写成：
0d x
q q q q A dt
∆+∆=+∆-溢0溢 （3-2） 因为在稳态时，有
00q q =溢 （3-3） 因此
d x
q q A
dt
∆∆=∆-溢a （3-4） 取相对增量形式。
先将上式各项除以0q 溢或 0q ，得
0000q q A d x
q q q dt ∆∆∆=-
溢溢 （3-5） 或
00000
0()q Ax q d x
q q q dt x ∆∆∆=-溢溢 （3-6） 用,,q q x 溢代表各相对增量值，则上式可写成： A
d x
q q T dt
=-溢 （3-7） 式中A T ------时间常数，表示阀芯运动对阀口的流量变化的相对影响。
A Ax T q =
（3-8） 在式（3-7）中，变量,,q q x 溢都是时间t 的函数，对（3-7）进行拉氏变换 得：
()Q X s As 溢（s ）=Q(s)-T （3-9） 2．阀口流量方程式
阀口的流量可用簿壁口流量公式，即
12
1q K xp μπ==溢 （3-10）
式中μ-----流量系数；
d-------阀芯直径； ρ-----油液密度。
1K μπ=式中为非线性方程，在应用传递函数法时必须进行线性化。
线性化是在某一稳态值附近微小偏差的条件下进行的。
常用的线性化方法是将非线性化方程在某一稳态工作点附近展开成泰勒级数，然后略去高阶微小量项，将式（3-10）的稳态值00,x p 附近展开成泰勒级数，并略去最小项得：
112q K K x K p =+
溢 （3-11） ,q q q =+∆溢溢0溢
1q K x =溢0 （3-12）
q K x p ∆=+
溢 （3-13） 这就是非线性方程（3-10）经线性化后，并写成增量的形式的线性方程。
将该方程再写成参量的形式。
首先除以0q 溢，得：
q x p q ∆=+溢溢0溢0 （3-14） 即：
00
2q x p
q x p ∆∆∆=+
溢溢0 （3-15） 因此 1
2
q x p =+
溢 （3-16）
进行拉氏变换后得：
1
2
Q X p =+
溢 （3-17） 拉氏变换式（3-17）中，Q 溢，X ，P 都是s 的函数，为了简写，省去后面的括号及s 。
3．阀芯受力平衡方程式
在动态过程中阀芯的受力方程为：
22()A d x
Ap m K x x K x dt
=+++压动弹(3-18) （3-18）
式中m-------考虑阀芯的质量m 阀及弹簧的质量m 弹在内的阀芯运动的等效质量； 1
3m m m =+
弹弹
(3-19) x ------阀口的开度；
x 压-----阀口的开度为零时，弹簧的压缩量。
因为
4128A l dx dx
p p p p A p RA d dt dt
ηπ=-∆=-
=-孔 （3-20） 式中p ∆孔--------油液流经阻尼小孔产生的压力损失； η----------动力粘度系数；
d,l ----------分别为阻尼孔的直径和长度。
将式(3-20)代入（3-19）得：
22()d x dx
m RA
K x x K x Ap dt dt
++++=压动弹 （3-21） 对该式区增量的形式为：
222()d x dx m RA K K x A p dt dt
∆+++∆=∆动弹 （3-22） 在上式中用k 代替()K K +动弹，并取相对增量的形式，得：
22020000
()()Ap d x d x p m RA k x dt x dt x x p ∆∆∆++= (3-23) 即
22020
Ap d x d x m RA k x p dt dt x ++= (3-24) 对上式取拉氏变换得：
2
2
()Ap ms RA k X p x ++=
(3-25)
即 2221(1)T s T X Kp ++= (3-26) 式中2T -------滑阀的时间常数；
2T =
1T --------滑阀的阻尼时间常数；
2
1RA T k
=
Ｋ---------位移的放大系数。
0
Ap K kx =
（四）态结构方程图和传递函数
由式（３-９），（３-17）(3-26)流阀的动态结构方框图，如图10-3所表示。
从图中可以看出，直动式溢流阀本身是一个自动调节系统，输入是进入该阀的流量，输出是由溢流阀所确定的系统的压力，系统的压力起负反馈的作用。
从图中可以清楚的看出各变量间相互影响的关系。
直动式溢流阀的动态结构方框图也可以画成如图10-4中的形式，图形比较整齐些。
但比易看出各变量之间相互影响的关系
由图可得直动式溢流阀的开环传递函数W （s ）如下：
22
212(1)()1
A T s K
W s T s T s +=
++ （4-1） 同时可得直动式溢流阀的闭环传递函数()s φ为：
221222122
21()2
()()1()2
2(1)11
2(1)
(2)21
A
A p s s Q s W s T s K T s T s T s T s T s T T K s K φ=
=
+=
++++++=++++ （4-2）。