数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。

本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。

本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。

推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。

试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

（1） 二点分布：X ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p 101，则()p X E =（2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)(（3） 几何分布：)(~p G X ,则有pX E 1)(=（4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布：),,(~M N n h X ,有NM nX E=)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===,设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则)32,3(~B Y ,2323)(=⨯==np Y E1.3 性质法利用数学期望的性质求期望，主要性质有：c c E =)( )()(X aE aX E = b X aE b aX E +=+)()(其中X 为随机变量，c b a ,,为常数。

（2）社该工程队所获利润为)13(50X Y -=,单位为万元。

试求工程队的平均利润。

解（1）根据题意，我们可求平均月数为：111.0132.0123.0114.010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 月（2）由（1）知11)(=X E ，则可得))13(50()(X E Y E -=1001150650)(50650)50650(=⨯==-=-=X E X E1.5 利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质11=∑∞=i ip两边关于参数进行求导，从而解出数学期望。

例5 设随机变量)(~p G X ，求)(X E 。

解 因为)(~p G X ，故1)1()(--==k p p k X P 其中10 p,2,1=k则1)1(11=-∑∞=-k k p p （1）对（1）式两边关于p 求导得 ()[]0)1)(1(1121=----∑∞=--k k k p k p p()()()()()01111111101)1(1111111121211=--+----=-+---∑∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-k k k k k k k k k k k k p p p p kp p p p p p p p kp p根据数学期望的定义知：()()∑∞=--=111k k p kp X E 且知1)1(11=-∑∞=-k k p p因此上式可以写成：()011111=-+--P X E p p 从而解得 ()pX E 1=1.6 利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,。

在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：()()()∑=====iiiy Y x X P x y Y X E X E或()()()∑=====jjj x X yY P y x X Y E Y E例6 设二维离散随机变量()Y X ,的联合分布列为试求()2=Y X E 和()0=X Y E解 要求()2=Y X E ，首先得求()2=Y X P()25106.005.005.005.003.001.001.020=+++++===Y X P 同理可得()25321===Y X P ()25522===Y X P ()25523===Y X P()25524===Y X P ()25625===Y X P ()()257825652554255325522530225=⨯+⨯+⨯+⨯++====∴∑=i i i Y x X P x Y X E 用同样的方法，我们可得()20==X Y E 1.7 利用重期望公式法重期望是在条件期望的基础之下产生的，()y Y X E =是y 的函数，对y 的不同取值，条件期望()y Y X E =的取值也在变化，因此我们可以把()Y X E 看作一个随机变量。

重期望的公式是()()()Y X E E X E =,此公式的前提是()X E 存在。

如果是Y 一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为()()()∑===jjjy Y P y Y X E X E例7 口袋中有编码为n ,,3,2,1 的n 个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i 号球)2(≥i ，则得i 分，且将此球放回，重新摸球。

如此下去，试求得到的平均总分数。

解 记X 为得到的总分数，Y 为第一次取到的球的号码，则()()()nn Y P Y P Y P 121======= 又因为()11==Y X E ，而当2≥i 时，()()X E i i Y X E +== 所以()()()()(){}X E n n ni Y P i Y X E X E ni 12111-++++====∑= 由此解得 ()()21+=n n X E 第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数()x p 代替分布列(){}i x p ，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。

2.1 定义法[]4设连续随机变量X 有密度函数()x p ，如果积分()dx x p x ⎰+∞∞- 有限（收敛），则称 ()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 为X 的数学期望。

若()dx x p x ⎰+∞∞- 无限（不收敛），则说X 的数学期望不存在。

例8 设随机变量X 服从均匀分布，求它的数学期望。

解 由于()b a U X ,~，则它的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧-=01a b x p 其他b x a则根据定义它的数学期望为 ()()⎰⎰-⋅==+∞∞-badx ab x dx x p x X E 1()2221222b a a b a b x a b b a+=--=-=可见，均匀分布的数学期望位于区间[]b a ,的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。

例9 密度函数为()()211xx p +=π +∞∞- x 的分布称为柯西分布。

其数学期望不存在，这是因为积分 ⎰∞+∞-+dx xx211π 无限。

2.2 特殊积分法连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ⎰+∞∞-=，在计算连续型随机变量X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。

例10 设随机变量()2,~σμN X ，证明()μ=X E ．证 在()X E 的积分表达始终做变换()dz dx dx dz x z ⋅==-=σσσμ即1,可得 ()()⎰∞+∞---=dx xeX E x 22221μμσπ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+⋅=⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--dz edz ze dzez z z z 2222222121μσπμσπ由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为π2，故得()μ=X E ． 2.3 利用特征函数特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()itXeE t =ϕ , +∞∞- t ，为X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t itx ϕ +∞∞- t根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：()()()kk kiXE 0ϕ=求出数学期望，即()()iX E 0ϕ'=．例11 设随机变量()2,~σμN X ，求()X E ．解 因为随机变量()2,~σμN X ，则X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ其一阶导数为()()22222exp t i t t i t σμσμϕ-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-='则()μϕi ='0由特征函数的性质得()()μμϕ=='=ii iX E 0 注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。

2.4 逐项微分法这种方法同样适用于密度函数()x p 中含有参数的连续型随机变量分布，也是对()1=⎰+∞∞-dx x p 两边对参数求导数来解出数学期望。

例12 设随机变量服从指数分布即()λExp X ~，求()X E解 因为()λExp X ~，则X 的密度函数()⎩⎨⎧≥=-0,00x x e x p x ，λλ则由()1=⎰+∞∞-dx x p ，()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 得10=⎰+∞-dx e x λλ ()dx e x X E x λλ-+∞∞-⎰=对10=⎰+∞-dx e x λλ两边关于参数λ求导得()()00100=-∞+-=-=--∞+-∞+-+∞--⎰⎰⎰X E e dx xe dx e dx e x exx x x xλλλλλλλ从而解得()λ1=X E2.5 条件数学期望公式在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为 ()()⎰+∞∞-==dx y x xp y Y X E例13 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧+=其他,01,0,, y x y x y x p试在()y Y X E y =时，求10 ． 解 由题意知，()()()()()()()()()y x x y y dxx x y y dx y x xp y Y X E y y y xy p y x p y x p y y y ydx x x p y yY yY 13221211212111021211,12121243221221221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-===+--==∴+-=-=⎰⎰⎰时，当()()()3121611223261212112322+=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=y y y y y y y y2.6 利用重期望公式在Y 是一个连续随机变量时，重期望公式()()()YX E E X E =可改写成为()()()⎰+∞∞-==dy y p y Y X E X E Y ．例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力X 服从()()kW 41030,10单位：上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力Y 服从()()kW 41020,10单位：上的均匀分布。