运用层次分析法进行决策，可分为以下五个步骤：
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
标度值
意义
说明
1
Bi与Bj同样重要 Bi ， Bj 对 一 个 目
标贡献相同
3
Bi 比 Bj 重 要 性 稍 二者间判断差异
高一些
轻微
5
Bi 比 Bj 重 要 性 明 二者间判断差异
显高
明显
7
Bi 比 Bj 重 要 性 明 显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
m 1
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI= m
m 1
对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数
（2）每列正规化的判断矩阵按行相加；
（3）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要 求的特征向量W；
（4）计算判断矩阵B的量大特征值λ*
m
*
(BW )i
i 1 m Wi
中（BW）i表示向量BW的第i个元素。
根法 （1）将B的元素按行相乘 （2）所得乘积分别开m次方 （3）将方根向量正规化即得排序所要求的特征向量W （4）计算
目标层 中间层 1
中间层 2

方案层
准则 1 子准则 1

方案 1
决策目标 准则 2 子Biblioteka 则 2准则 k 子准则 m

方案 2 图 15.1

方案 n
二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系 构造如下的判断矩阵：
要计算与层次单排序类似的检验量，记
CI——层次总排序的一致性指标
RI——层次总排序随机一致性指标
CR——层次总排序随机一致性比例
其中
K
CI aiCIi
i1
CIi为Ai对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。
K
RI ai RIi
i1
RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。
BU=λU
的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且
λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合
理，于是我们可用
* m
CI= 作为检验B的一致性的指标。
层次分析法
由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提 出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP） 是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将 决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量 化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其 相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分 类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次 结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重 要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确 定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总 目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
三、层次单排序
利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言， 本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5 8024215924
CI RI
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整 判断矩阵。
四、层次总排序
为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组 合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该 层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合 权重，这个过程称为层次总排序。
层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进 行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方 案优先次序的相对权重。
一般来说，对于最高层之下的第二层次单排序 即 层 A为i(为次1≤总单i≤排k排)对序序应。已的假完本设成层上次，一元得层素到所为有的B元权1,B素重2,A…为1， Bam1A,单2a，排2,……序aA结k,k的 与果
B i ( b 1 i,b i 2 , ,b i m )b
i j

0
其中若Bj与Ai无关，,我们有如下层次排序表
层次A
A1
A2
…
AK
B层次总排
层次B
a1
a2
…
aK
序
B1
b1 1
b2 1
…
bk 1
k
a
bi
i
1
i 1
B2
b1 2
b2 2
…
b2 k
k
a
i
b
i 2
i 1


Bm
…
b1
km
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度。 通常按下表的方式定义。
显然判bij＞断0矩，阵biBi==1，（bbjiij=）有1 关，系i式,j=1，…，m
b ij
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
m
*
(BW )i
i 1 m Wi
返回
b
2 m
b
k m
a
i
b
i m
i 1

其中B层m个元素相对总体目标组合排序权重向量即为
显然
k
k
aib1i ,,aibim
i1
i1
mk
k
m
aibij ai bij 1
j1 i1
i1 j1
即层次总排序是一正规化向量。
五、一致性检验
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需
CR CI RI
当CR≤0.10时，则认为层次总排序计算结果的一致性 可以接受。
由上面的五个步骤可以看出，层次分析法计算的主要 问题是如何计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向 量。这里我们介绍在精度要求不高的情况下，简化计算的 两种近似方法——和积法和根法。
和积法
（1）将判断矩阵B每一列正规化；
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
上述各值的 倒数
相应的反比较，即 Bi 和 Bj 比 较 其 相 对 重要性用上述之一 值 进 行 标 度 ， 则 Bj 和 Bi 比 较 以 该 值 的
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求