一、填空题（共15分，每空3分）1．行列式的余子式和代数余子式；例1、行列式123756840D=中元素6的余子式的值为_____-12____；代数余子式的值为_______12______.例2、设三阶行列式1230450Dλλ=-，则元素2的代数余子式12A的值为___-20_____.2. 行列式计算；(一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母)例1．行列式0002001003002000--的值为____12_____例2．2100032100430005=______120________.例3．111123149=______2________.3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。

例1. 设矩阵111222333A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A的秩为( 1 ).例2. 设矩阵051022003A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A的秩为( 2 ).4.线性相关与线性无关，求参数；要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0.2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例例1. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性相关，则λ=____-4_________. 例2. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性无关，则≠λ___-4_________. 例3．若向量组)6,4,1(-与),-8,2(λ线性相关，则λ=______12_________.5.向量正交，求参数。

（两个或者三个向量正交） 要点：向量b a ,正交当且仅当0,=）（b a例1 设向量(2,5,4)-与向量(1,1,)t t -正交，则t =____3_______.例2 设三个向量 )0,,1(t ，),1,0(t ，)1,0,0(-t 两两正交，则t =_____0______.二、选择题（共15分，每小题3分） 1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）例1. 设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ B ）.(A) =AB BA ；(B) T T T T +=+A B B A ； (C) T T T T =A B B A ； (D) ()T T T =A B AB . 例2. 设A 为二阶方阵，且2=A ，则1(3)-=A （ A ）. (A)118； (B) 92； (C) 32； (D) 16. 例3.设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ B ）.(A) =AB BA ；(B)A B B A +=+； (C)B A B A ==则若,； (D). B A O C BC AC =≠=则若,,2. 线性相关与线性无关；例1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ B ）.(A) 如果12,,,m ααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示；(B) 如果n 个n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果12,,,m ααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,m k k k ，使得1122m m k k k +++=ααα0；(D) 如果n 维向量12,,,m ααα线性无关，则必存在n 维向量β，使得12,,,,m αααβ线性无关.例2. 下列向量组中，线性无关的是（ C ）.(A) 104203, , 302401⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (B) 121, , 135-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (C)111011, , 00111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (D) ()()(), , 1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.3.方程组有解的充分必要条件；例1 n 元线性方程组=Ax b 有解的充分必要条件是)()(b Ar A r =.例2 n 元线性方程组=Ax b 有唯一解的充分必要条件是n b Ar A r ==)()(例3 n 元线性方程组=Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是 ()(|) r r n =<A A b . 例4 n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是 () r n =A . 例5 n 元齐次线性方程组=Ax 0有无穷多解的充分必要条件是n A r <)(.4.特征值的性质；要点：1. 上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素2.n A λλλ 21⋅=3.nn n a a a A tr +++=+++= 221121)(λλλ4.若A 的特征值是λ，则)(A ϕ的特征值是)(λϕ。

例1 . 设3是方阵A 的特征值，则矩阵2A 具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例2. 设3是方阵A 的特征值，则矩阵E A A 322+-具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例3矩阵135022003-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值为_____1, 2, 3________.例3.设A 为n 阶方阵，则 ( C ).(A) A 的全部特征向量构成向量空间； (B) A 有n 个线性无关的特征向量； (C) A 的全部特征值的和为tr()A ；(D) A 的全部特征值的积为tr()A .例4矩阵11113111b ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 的特征值可能是（ A ）. (A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，1-.5.相似矩阵性质要点：1. 如果B A ~,C B ~,则C ~A2.如果B A ~,则B A =，A 和B 可逆性相同3. 如果B A ~,则A 和B 具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹4. 如果B A ~,则-1-1~B A ，T T B A ~5.kE kE E E ~,~例1设A 、B 、C 为n 阶方阵，~A B ，~B C ，则A 、C 的关系不正确的是( D ).(A) ~A C ； (B) →A C ； (C) =C A ； (D) =A C .例2. 与矩阵1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A 不相似的矩阵是（ C ）.(A) 1023⎛⎫⎪⎝⎭； (B)3501⎛⎫⎪⎝⎭； (C) 1133⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 2112⎛⎫⎪⎝⎭. 三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。

例1.已知，123130052-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求：(1) T AB ；(2) 3-A . 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ；(2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A四、（10分）求解矩阵方程。

例 1.解矩阵方程=AX B ，其中121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，012123T⎛⎫= ⎪⎝⎭B . 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .五、（10分）求非齐次线性方程组的通解（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。

例1.求非齐次线性方程组12341234123412341 12033x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对增广矩阵施行初等行变换： 11111111111111101110(|)11120000111113300000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b （3分）10001011010001100000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭（5分）对应齐次线性方程组的一个基础解系为()0,1,1,0T=ξ（7分），所求方程组的一个特解为()1,1,0,1Tη=-（9分），于是所求方程组的通解为k =+x ξη，k ∈R .（10分） 例2.求线性方程组12341234 24522454x x x x x x x x -++=⎧⎨-+--=-⎩的通解. （用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得112451124511203(|)224540003600012----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 对应齐次线性方程组的一个基础解系为()()12, 1,1,0,02,0,1,0T T==-ξξ，所求方程组的一个特解为()3,0,0,2Tη=-，于是所求所求方程组的通解为1122k k =++x ξξη，12,k k ∈R .六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。

要点：1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换例 1. 求向量组 1(1,2,3,1)α=--，2(3,1,5,3)α=--，3(2,1,2,2)α=-，4(1,3,1,1)α=--的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对()1234TT T T A αααα=进行初等行变换，得1321132113211012211305550111011135210444000000001321000000000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为12, αα，（8分）且有312=-+ααα，4122=-+ααα (10分)例2.求向量组 1(1,2,1)T α=--，2(1,2,1)T α=-，3(2,1,8)T α=，4(3,1,7)T α=--的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对()1234A αααα=进行初等行变换，得1123112311231101221100550011(3)0011118700101000000000--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为13, αα，（8分）且有21α=-α ，413αα=--α(10分).七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化.（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）例1 用施密特正交化方法把线性无关的向量组12110,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，3111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦正交化. 解：取11=βα（2分）21221110(,)=1(,)0αββαβββ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4分） （6分） 3132331211220(,)(,)=0(,)(,)1αβαββαββββββ⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（8分）（10分） 例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组1(1,0,0,0)T α=，2(1,1,0,0)T α=3(1,1,1,0)T α=正交化.解：令11(1,0,0,0)Tβα==（2分）2122111110101(,)1000(,)1000αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6分）31323312112211001010(,)(,)111001(,)(,)110000αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分） 八（12分）已知一个二阶实对称矩阵A ，求矩阵A 的特征值与特征向量，并求一个正交矩阵P ，把矩阵A 对角化。