由刀位点和刀位点所表示的刀具路径的形状特征设定为
n+1；节点矢量 T 可以由近似弧长参数化方法得到。
控制顶点优化的目的，是使刀位点与拟合曲线之间的偏
差最小。各刀位点与拟合曲线之间的偏差，可以用各刀位点到
曲线上相应的点的距离之和来表示：δj = Pj - P (uj ) 。 由于 k 阶 NURBS 曲线的每个控制顶点的调整，都会影响
刀具所对应的段曲线的变化，因此对各控制顶点位置的优化，
就涉及到所有刀位点所对应的偏差。以所有刀位点所对应的
偏差的平方之和作为目标函数，则优化问题的目标函数可以
表示为
m
Σ f (C0 ，C1 ，…，Cn ) =
2
Pj - P (uj )
j=0
m
n
2
Σ Σ =
Pj - Ni，k (uj )·Ci
j=0
i=0
笛卡尔坐标空间规划方法的步骤是：先在笛卡尔坐标系 的 XY 平面中规划刀具的路径，一般是 XY 平面中的一列平行 直线；然后将这些直线反投影到曲面上，得到曲面上的刀具路 径。这种方法的缺点是：要求在整个零件表面搜索可能与刀具 相干涉的点，计算量较大。 1.3 参数空间路径规划方法
参数空间路径规划方法有两种：等参数步长法和参数筛 选法。
（1）等参数步长法：沿着 u 参数线或 v 参数线，以等参数 步长计算刀具路径点位信息，为了满足加工精度，步长通常取 的很小。这种方法由于没有用曲面的曲率来估计步长，因此没 有考虑曲面的局部平坦性在平坦区域只需较少的点位信息， 所得到的点位信息较多；优点是计算比较简单。
（2）参数筛选法。首先按预设的等参数步长离散 u 或 v 参 数线，计算出零件表面对应的点列和每一点处的法矢，然后按 曲面的曲率和加工精度，从点列中筛选出点位信息。这种方法 中运用了过滤算法和细化算法，过滤算法用于依据曲率变化 合并一些间隔，以减少数据量；细化算法则依加工误差的要 求，在一些间隔较大的区间里添加路径点。这种方法的优点是 克服了等参数步长法的缺点，缺点是过滤算法和细化算法都 非常费时。
由于通过直线插补大量刀位点来进行数控加工，存在很
多缺陷，利用 NURBS 刀具路径进行数控加工，已受到更加广
泛的重视。为了将有序刀位点表示的刀具路径，转化为
NURBS 形式表示的刀具路径，必须对刀位点数据进行 NURBS
曲线的拟合处理。由于刀位点数据特殊性的存在，特别是刀位
点数据量大的特点，使前面介绍的数据拟合方法在应用于刀
中图分类号：TH164
文献标识码：A
文章编号：1672- 545X（2009）07- 0057- 03
计算机数控技术集传统的机械制造、计算机、自动控制、 电气传动、传感检测和信息处理等技术于一体，是现代制造技 术的基础。它的诞生和使用，给机械制造的生产方式、产品结 构、产业结构等方面带来深刻的变革。如今，数控技术作为制 造业实现自动化、柔性化、集成化生产的基础，已成为先进制 造技术的重要组成部分，是发展现代集成制造和智能制造的 主体技术，是当今各种先进制造系统的基础和前提条件。
随着制造业的迅速发展，越来越多的复杂曲面被应用于 航空、汽车、造船及电子产品等行业之中，如空气动力学的飞 机轮廓、汽车车身、涡轮机桨叶和手机外壳等。如何提高这些 特殊产品加工的效率和精确度，已成为亟待解决的问题，越来 越多的人投入到这项研究中[2~3]。刀具路径规划是复杂曲面加 工过程中需要解决的关键技术之一，刀具路径规划是否合理， 直接关系到能否在误差允许范围内获得最大的加工效率。本 课题的主要目的，是对自由曲面数控加工过程中的刀具路径 进行合理规划，力争做到保证被加工曲面表面质量的同时，提 高加工效率。
由于 NURBS 刀具路径，无法从以 NURBS 表示的自由曲 线曲面零件轮廓中直接得到，往往需要首先根据零件的几何 模型和加工工艺，生成以刀位点表示的刀具路径，再将此有序 刀位点表示的刀具路径，转化为 NURBS 刀具路径。因此，如何 以更加精确简洁的方式，将刀位点数据表示成刀具路径，是实 现对自由曲线曲面零件用 NURBS 刀具路径进行高速、高精度 加工的关键。
位点的 NURBS 曲线拟合时，往往不能满足 NURBS 刀具路径生成的需求。
2.4 优化算法
设有 m+1 个有序刀位点 Pj ( j = 0，1，…，n)，对这些刀位点
进行 NURBS 曲线拟合，就是要构造一条 k 阶 NURBS 曲面
n
Σ r(u)= Ri，k (u)Ci (其中 Ri，k (u)为有理 B 样条基函数), Ci ( i = i=0
2 刀具路径规划技术分析
在常规的数控加工中，自由曲面零件的切削刀具路径，是 由许多较小的直线段组成的，这种刀具路径我们常称之为线 性插补刀具路径，也称直线插补刀具路径。线性插补刀具路径 虽然具有表达简单、计算快捷等优点，但也有很多缺点。随着
收稿日期：2009- 04- 20 作者简介：王 博（1981－），男，山东泰安人，教师，主攻方向：数控加工。
在基于 ATP 的路径规划方法中，刀具的移动路线由一系 列称之为导动面 DS(drive surface)的曲面来定义。其主要思想 是在加工过程中，通过控制刀具的运动，使之同时与导动面和 零件面保持接触，使刀具按照正确的运动轨迹运动。这种方法
的缺点是：为了控制加工误差，每一刀步中均要进行反复的迭 代运算，以确定正确的刀位，迭代计算费时且在不规则的曲面 情况下不能保证迭代收敛；其优点是：刀具的路径完全由零件 面和导动面决定，因此可以沿着任何方向来规划刀具的路径， 同时可以保证不产生干涉现象。 1.2 笛卡尔坐标空间规划方法
对于插值方法，拟合的目的是要求构造曲线 r(u)严格通过 刀位点 P，此时新构造的曲线 r(u)必须满足条件：
r(uj ) = Pj ( j = 0，1，…，m) 而对于逼近方法，拟合的目的则是要求构造曲线 r(u)在规
定的精度内逼近各刀位点，此时新构造的曲线 r(u)必须满足条
件：
max dist Pj ，r (uj ) ≤ε
曲线拟合的目标，就是通过调整控制顶点的位置使此偏
差达到最小。每个控制顶点由其笛卡儿坐标系中的三个坐标
分量来表示。由前面的分析可知，当控制顶点数目较多时，此
优化问题就成为一个设计变量较多的非线性优化问题，不宜
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采用解析法求解。通过对目标函数的分析，本研究采用修正 Newton 方法进行迭代求解。修正 Newton 方法将传统 Newton 迭代方法中的迭代步长设为一个可变因子，实现了每一次迭 代都能够在 Newton 方向上进行一维寻优，避免了迭代后目标 函数值上升的现象，从而保持了优化算法的收敛性。其中各分 量为目标函数对坐标轴的求偏导，经过对曲线求偏导并化简 得到。
修正 Newton 方法的迭代计算，需要对初始控制顶点进行 设置，在对刀位点数据进行 NURBS 拟合中，理论上初始控制 顶点可以设定为比刀位点数据少的任意值，控制顶点位置的 迭代初始值，也可以任意指定，但任意给定的控制顶点迭代初 始值，往往会使迭代计算次数太多，降低计算效率，甚至出现 迭代计算不收敛的情况。本优化方法针对刀位点数据分布的 特点，设定初始控制顶点数目为 n=round((1/10~1/2)m)，将最接 近的刀位点设为初始控制顶点。这样设定初始控制顶点，避免 了任意初始顶点的不稳定性，减少迭代计算次数，在通过初始 控制顶点条件完成节点矢量的计算后，就可以利用优化方法 寻找最优的控制顶点。
在使用 NURBS 刀具路径进行数控加工时的 NC 程序指 令中，只有三类定义 NURBS 刀具路径的数值，没有必要使用 大量的微小直线段的指令。NURBS 刀具路径由 CNC 系统的 NURBS 插补器来实现内部的曲线运算，对于曲线曲面的加 工，可以得到光滑的加工形状，从根本上解决了直线插补所带 来的问题。 2.2 NURBS 曲线拟合
0，1，…，n)为曲线的控制多边形顶点)，使之到各刀位点的偏差
满足一定的精度要求。
根据上节对各控制顶点权重初始值设置的描述，曲线拟
合初期可以将各控制顶点权重均设为 1，这时，Ri，k (u)=Ni，k (u)。 为了使生成的 NURBS 曲线至少二阶连续，以获得具有一定光
顺性的曲线，设定曲线的阶数 k=4。初始控制顶点数目，可以
式中，Dist 表示刀位点至曲线的距离函数；ε 为规定的拟
合精度。
由上述两个拟合的条件式可以看出，无论是插值还是逼
近，要计算满足条件的 NURBS 曲线的数据，拟合条件中与每
个刀位点相对应的 uj 巧参数的选取方法、拟合误差的计算和 采用的拟合方法等技术，均是能否正确计算拟合的关键。
2.3 NURBS 曲线拟合及刀具路径生成
在自由曲面加工的刀具路径规划中，进行 NURBS 曲线拟 合的主要任务，是拟合已知的刀位点。将大量有序的刀位点， 直接拟合成 NURBS 曲线刀具路径，便可以直接传输给数控系 统进行 NURBS 刀具路径的数控加工。在自由曲面的加工中， 为保持刀具路径和被加工曲面的二阶几何(G2)连续性，常使用 三次(阶数 k=4) NURBS 曲线。这样，对于一个给定数目的刀位 点序列 P j ( j= 0,1,2,…m)，要求构造出一条合适的 NURBS 曲 线 r(u)来拟合刀位点，主要任务是通过己知的刀位点，来反求 曲线控制顶点、权重因子和节点矢量，这个过程称之为拟合。 拟合分为插值和逼近。
1 刀具路径规划技术的发展概况
自由曲面数控加工中，刀具路径的规划问题较为复杂。近 年来，业界学者对此展开了深入的研究，探讨了多种具有自身 的优点和适用场合的方法。这些方法，为优质高效地完成自由 曲面的数控加工奠定了理论基础和技术基础。传统的数控加工 中的刀具路径规划，是在数控编程中完成的，当前数控编程广 泛采用计算机辅助自动编程方式。在自动编程系统中，针对复 杂曲面零件，刀具路径的规划方法主要有基于 ATP 的路径规 划方法、笛卡尔坐标空间规划方法、参数空间规划方法、多面体 法、等参数线加工方法、截面线加工方法、等残留高度法等。 1.1 基于 ATP 的路径规划方法