( n1) ( t ) 在 (a, b) 内至少有一个零点，设 以此类推，可知 为 x ，即 ( n1) ( x ) 0 ，x (a, b)。
( n 1) 又 ( n1) ( t ) Rn ( t ) K ( x )[( t x0 )( t x1 ) ( t xn )]( n1)
19
插值误差举例
f ( 3) ( ) 抛物线插值：R2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6)
f ( 3) ( ) 2 3 31.25
31.25 R2 (0.54) (0.54 0.4)(0.54 0.5)(0.54 0.6) 3! 0.00175 R1 (0.54) 0.048
试估计线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的误差
解 线性插值
f ( 2) ( ) R1 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2
f ( 2) ( ) 2 4
x0=0.5, x1=0.6, (0.5, 0.6)
R1 (0.54) 2(0.54 0.5)(0.54 0.6) 0.0048
ln 0.54 的精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
11
Lagrange插值
lk(x) 的表达式
由构造法可得
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
……
5
多项式插值
多项式插值
已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上 n + 1 个点
a x0 < x1 < ···< xn b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn) 求次数不超过 n 的多项式 P(x) = c0+c1x + ···+ cnxn，使得 P(xi) = yi，i = 1, 2, ... , n P(x) 的次数可能小于 n
j 0 n n
Ln ( x )
yj
j 0
k 0, k j

n
x xk x j xk
Lagrange 插值多项式
13
误差估计
如何估计误差
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
插值余项
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
L2 ( x )
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
定理

满足上述条件的多项式存在且唯一
证明：利用Vandermonde 行列式即可
证明过程给出了一种求 P(x) 的方法，但较复杂，一般不用！
6
基函数插值法
基函数法
记 n+1 维线性空间
Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体} P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
14
插值余项
由插值条件可知： Rn(xi)=0, i=0, 1, …, n Rn(x) 在[a,b]上至少有 n+1 个零点 Rn(x) 可写成
1, lk ( x j ) 0,
jk
jk
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数
8
线性与抛物线插值
两种特殊情形
n=1
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
n
Rn ( x ) x k x k j l j ( x) 0
j 0
特别地，当 k = 0 时有
l ( x) 1
j 0 j
n
Lagrange 基函数的两 个重要性质
18
插值误差举例
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
x lnx 0.4 -0.9163 0.5 -0.6931 0.6 -0.5108 0.7 -0.3567 0.8 -0.2231
f ( n1) ( t ) L(nn1) ( t ) K ( x )( n 1)! f ( n1) ( t ) K ( x )( n 1)!
f ( x ) K ( x) ( n 1)!
( n 1)
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) n1 ( x ) ( n 1)! 16
j 1, j k

n
x xj xk x j
性质 注意
l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 构成 Zn(x) 的一组基 l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 与插值节点有关， 但与函数 f(x) 无关
12
Lagrange插值
如何用 Lagrange 基函数求 P(x)
则 ( t ) 在 [a, b] 中有 n+2 个互不相同的零点：x, x0 , … , xn
罗尔 定理
15
插值余项
f(x) Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在
由Rolle定理可知 '( t ) 在 (a, b) 内至少有 n+1 个不同的零点； 同理可知 "( t ) 在 (a, b) 内至少有 n 个零点；
22
新的基函数
设插值节点为 x0 , … , xn ，考虑插值基函数组
0 ( x) 1 1 ( x ) x x0 2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )

n ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 )
当增加一个节点 xn+1 时，只需加上基函数
数值分析
第三章
插值法
1
为什么要插值
在生产和科研实践中许多实际问题都用函数来表示某种内在 规律的数量关系, 虽然可以确定所考虑函数的一些性质，但 却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有 限个点上的函数值。 另外, 有时虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结
构相当复杂，使用起来很不方便。
P(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + ···+ anln(x)
将 P(xi) = yi ，i = 1, 2, ... , n 代入，可得
ai = yi ，i = 1, 2, ... , n P(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + ···+ ynln(x)
Ln ( x ) y j l j ( x )
插值基本概念
什么是插值
插值区间
已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点
a x0 < x1 < · · ·< xn b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn)
如果存在一个简单易算的函数 P(x)，使得
插值节点
P(xi) = f(xi)，i = 1, 2, ... , n
n
n1 ( x xi )
i 0
23
Newton 插值
此时 f(x) 的 n 次插值多项式为
pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x xk )
k 0
n1
问题
如何从 pn-1(x) 得到 pn(x) ? 怎样确定参数 a0 , … , an ? 需要用到 差商（均差）
17
Lagrange基函数性质
Lagrange 基函数的两个重要性质
当 f(x) 为一个次数 n 的多项式时，有 f ( n1) ( x ) 0 故
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x) 0
即 n 次插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的
若 f(x) = xk，k n，则有
则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数
插值条件
插值节点无需递 增排列，但必须 确保互不相同！
求插值函数 P(x) 的方法就称为插值法
4
常用插值法
P(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
常用插值法
多项式插值：P(x) 为多项式函数 --- 最常用的插值函数 分段插值：P(x) 为分段多项式函数 三角插值：P(x) 为三角函数
高次插值通常优于低次插值
20
数值分析
第三章
插值法
—— Newton 插值法
21
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函 数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。