中 轴 性
σ
=
M(x) W
≤ σ
τmax
… © τ ∪=
F Sz Q Izb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
对于横截面上既有正应力又有剪应力的一 些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险 应力如何确定?
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
FP
S平面 平面
l/2
5 4 3 2 1
l/2
5
F P 2
Fl Mz = P 4 S平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
3
τ3
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
= 9.02M Pa
τα = σx −σ y
2 60 + 40 = sin( −60o ) −30cos(−60o ) 2 sin 2α +τxy cos 2α
= −58.3M Pa
（2）主应力
∪ σx +σ y … © ⊗ ⊃ = σ∪ ±
2
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+ τ xy
2 + 2
cos 2α −τxy sin 2α
τα =
π
2
σx −σ y
2
sin 2α +τxy cos 2α
用 β =α + 斜截面截取，此截面上的应力为
σβ =
σx +σ y σx −σ y
2 2 − 2
cos 2α +τxy sin 2α
σβ
τβ
τβ = −
σx −σ y
τα
σα
sin 2α −τxy cos 2α
4
x
z
Mx
3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/ 课堂练习
承受内压、扭转的薄壁圆筒,试从加强肋之间取应力单元体
m o
m o
ｐ
l
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
σx
σ x (π D)δ
ｐπD２ ４
ｐ
δ Ｄ
σx
∑F = 0
x
πD2 σx (πDδ ) = p 4
pD σx = 4δ
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
ｐ × Ｄ×ｌ
∑F = 0
y
σt
ｐ
σt
σt (2δ ×l ) = p(D×l )
pD σt = 2δ
σt (2δ ×l )
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
过一点不同方向面上应力的 集合，称之为这一点的应力状 态。
应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位
的截面上的应力及其变化规律。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
3 .一点应力状态的描述
单元体
dx dy dz → 0
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
即: 2(
σ x −σ y
2 cos 2α −τ x sin 2α) = 0
将 θ0 代 τα 式,得: 方位: 大小: τ
σ x −σ y tg2θ0 = 2 x τ
m ax m in
=± (
σ x −σ y
2
2 )2 +τ x
m ax τ min 面上的正应力: σα =θ0 =
σ x+σ y
2
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4 S’平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4
5 4 3 2 1
S’平面 平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
τ2
3
τ3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除 了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会 发生斜向裂纹?
这些问题都要通过应力状态的分析来解决.
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
2.应力状态的三个重要概念
(1)应力的面的概念 (2)应力的点的概念 (3)应力状态的概念
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
轴向拉压 F
同一横截面上各点应力相等： = F σ F
σ
A
σα
˚ ˛ 2
σα = σ
同一点在斜截面上时：
2
α
τα
σ τα = sin 2α
此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应 力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
课堂练习 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面 的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的 应力。
a
F
F
a
A
A
B
B
C
C
A
B
C
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
FP
S’平面 平面
课堂练习 绘图示梁S’平面上 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
τy f
τx
σ +σ
2
τx
σy
2
τα
α
1+ cos 2α 2 1−cos 2α 2 sin α = 2
τy
f
ξ
τ x =τ y
y cos x y σαdA −σx (dAcosα= α +τ x (dA+ α)sin α+τ y (dAsin −τ x sin−σ y (dAsin α)sin α = 0 σα )cos x cos 2α α) cosα 2α
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材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
第十章 应力状态理论基础
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第十章 应力状态理论基础
一 应力状态的概念及其描述 二 平面应力状态分析—数解法 三 平面应力状态分析—图解法 四 三向应力状态 五 广义虎克定律 六 三向应力状态下的变形能
Mz
F Q
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同 一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。 。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
哪一个面上 哪一点？
应 力
指明
哪一点 哪个方向面？ 哪个方向面？
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
三 向 应 力 状 态 特例 态 状 力 应 面
平 单向应力状态
特例 纯剪应力状态
例题
α = −30o , 一点处的平面应力状态如图所示。已知 σx = 60MPa, τ xy = −30MPa. σ y = −40MPa,
试求（1）α斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
课堂练习
l
绘图示构件固端S截 面上、下、左、右 切线点处的应力单 元体
S
FP a
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
S
FP
1 4
z
2 3
S平面 平面
x
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
课堂练习
FQy
1
1 4 2 3
Mz
σ −σ
ταdA−σx (dAcosα)sin α −τ x (dAcosα) cosα +τ y (dAsin α)sin α +σ y (dAsin α) cosα = 0
τα =
σx −σ y
2
sin 2α +τ x cos 2α
公式推导
(2) β 面上的应力：
σα =
σx +σ y σx −σ y
⊇ ∈ σx − σ y 令 ⋅ sin 2α + τ x 2α = 0
2
τα = 0 在何处?
得: 任意(为方便)令:
− 2τ x tg2αo = σx − σ y
tg2αo = 1
可发现:①正应力极值有两个方面
2αo = 45o → αo = 22 5o
2α o = 225o → α o = 112 5o
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体
σy
σx
e
σx
f
τx
σy
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力 σα τα
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/ 公式推导使用的符号规定： α角 由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。