数字信号处理期末试卷一、填空题：（每空1分，共18分）1、数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。

2、双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。

3、某序列的DFT 表达式为∑-==10)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是Mπ2 。

4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。

系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。

5、如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。

6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Tω=Ω。

用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为)2tan(2ωT =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。

7、当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ωϕωωj j e H e H =，则其对应的相位函数为ωωϕ21)(--=N 。

8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。

二、判断题（每题2分，共10分）1、模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。

（╳）2、已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。

(╳) 3、一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做DFT 变换。

（╳）4、用双线性变换法进行设计IIR 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。

（√）5、阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。

（╳）三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(3)(-+=-+--n x n x n y n y n y系统初始状态为1)1(=-y ，2)2(=-y ，系统激励为)()3()(n u n x n =， 试求：（1）系统函数)(z H ，系统频率响应)(ωj e H 。

（2）系统的零输入响应)(n y zi 、零状态响应)(n y zs 和全响应)(n y 。

解：（1）系统函数为23223121)(22211+-+=+-+=---z z z z zzz z H系统频率响应232)()(22+-+===ωωωωωωj j j j e z j e e eez H e H j解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得)(2)(])2()1()([2])1()([3)(1221z X z z X z y z y z Y z z y z Y z z Y ---+=-+-++-+-即：)(231)21(231)2(2)1(2)1(3)(211211z X zzz zzy y z y z Y ------+-+++------=上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及激励的z 变换3)(-=z zz X 代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为23223121)(22211+-+-=+---=---z z z z z z z z Y zi3232323121)(22211-⋅+-+=-⋅+-+=---z zz z z z z z z z zz Y zs 将)(),(z Y z Y zs zi 展开成部分分式之和，得2413232)(2--+-=+-+-=z z z z z z z Y zi 32152812331232)(22-+--+-=-⋅+-+=z z z z z z z z z z Y zs即 2413)(--+-=z zz z z Y zi321528123)(-+--+-=z zz z z z z Y zs 对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为)(])2(43[)(k k y k zi ε-= )(])3(215)2(823[)(k k y k k zs ε+-=故系统全响应为)()()(k y k y k y zs zi +=)(])3(215)2(1229[k k k ε+-=解二、（2）系统特征方程为0232=+-λλ，特征根为：11=λ，22=λ；故系统零输入响应形式为 k zi c c k y )2()(21+=将初始条件1)1(=-y ，2)2(=-y 带入上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-2)41()2(1)21()1(2121c c y c c y zi zi 解之得 31=c ，42-=c ，故系统零输入响应为： k zi k y )2(43)(-= 0≥k 系统零状态响应为3232323121)()()(22211-⋅+-+=-⋅+-+==---z zz z z z z z z z z z X z H z Y zs 32152812331232)(22-+--+-=-⋅+-+=z z z z z z z z z z Y zs即321528123)(-+--+-=z zz z z z z Y zs 对上式取z 反变换，得零状态响应为 )(])3(215)2(823[)(k k y kk zs ε+-= 故系统全响应为)()()(k y k y k y zs zi +=)(])3(215)2(1229[k k k ε+-=四、回答以下问题：（1） 画出按时域抽取4=N 点基FFT 2的信号流图。

（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。

（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。

解：（1）0(x 1(x 2(x 3(x )0(X )1()2(X )3(Xkr001102W 02W 02W 12W k l001104W 04W 14W 234W 04W 04W 24W 34W4点按时间抽取FFT 流图 加权系数 （2） ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q1055)0()0()0(10=+=+=Q Q X31)1()1()1(1140⋅+-=+=j Q W Q X55)0()0()2(1240=-=+=Q W Q Xj Q W Q X 31)1()1()3(1340--=+=即： 3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X （3）1）对)(k X 取共轭，得)(k X *；2）对)(k X *做N 点FFT ；3）对2）中结果取共轭并除以N 。

五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为1414.11)(2++=s s s H a 试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为πω5.0=c rad ，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。

（要预畸，设1=T ） 解：（1）预畸2)25.0arctan(2)2arctan(2===ΩπωT T c c （2）反归一划4828.241)2(414.1)2(1)()(22++=++==Ω=s s ss s H s H cs s a（3） 双线性变换得数字滤波器4112828.2)112(44828.24)()(1121121121111211++-⋅++-=++==----+-=-+--=--zz zz s s s H z H z z s z z T s 2212211716.01)21(2929.0344.2656.13)21(4------+++=+++=z z z z z z（4）用正准型结构实现(n x )(n y六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应)(n h 如图1所示：图1试求：（1）该系统的频率响应)(ωj e H ；（2）如果记)()()(ωϕωωj j e H e H =，其中，)(ωH 为幅度函数（可以取负值），)(ωϕ为相位函数，试求)(ωH 与)(ωϕ；（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你的判断依据。

（4）画出该FIR 系统的线性相位型网络结构流图。

解：（1）)2,1,0,1,2()(--=n hωωωωωω4324)4()3()2()1()0()()(j j j j n nj j e h e h e h e h h en h eH ----=-++++==∑)()1(2223443ωωωωωωj j j j j j e e e e e e -------+-=--+=)]sin(2)2sin(4[)()(222222ωωωωωωωωωj j e e e e e e e j j j j j j j +=-+-=-----（2）)]sin(2)2sin(4[)]sin(2)2sin(4[)()22(22ωωωωωππωω+=+=--j jj j e eee H)sin(2)2sin(4)(ωωω+=H ， ωπωϕ22)(-=（3）)()sin(2)2sin(4)2sin(2)]2(2sin[4)2(ωωωωπωπωπH H -=--=-+-=-故 当0=ω时，有)0()0()2(H H H =-=π，即)(ωH 关于0点奇对称，0)0(=H ；当πω=时，有))()(ππH H -=，即)(ωH 关于π点奇对称，0)(=πH上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。

（4）线性相位结构流图1-)(n x )(n y八、（15分）简答题（1）试写出双线性变换法设计IIR数字高通滤波器的主要步骤。

（2）简述利用窗函数来设计FIR滤波器时，对理想低通滤波器加矩形窗处理后的影响。

为了改善FIR滤波器的性能，尽可能的要求窗函数满足哪两个条件？解：（1）1）将数字高通滤波器的频率指标转换为模拟高通滤波器的频率指标(其中将高通截止频率通过预畸转换为模拟高通滤波器的截止频率)2）将模拟高通滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标3）设计模拟低通原型滤波器4）将模拟低通原型滤波器通过双线性映射为数字低通原型滤波器5）将数字低通原型滤波器通过频域变换为数字高通滤波器（3）理想低通滤波器加窗后的影响有3点：1）幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。