分形几何----数学中绘画师
“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。

”——物理学家惠勒（1）
一、分形几何的起源
数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。

欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。

进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。

特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。

其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了：
1.自然界中的曲线
自然界中存在的曲线，我们用现行的一些词汇无法描绘它的具体形态，我们称之为“不可名状”——这是自然界曲线存在的一个共性。

通过进一步研究我们发现，这些曲线的局部和全局有着同样的复杂性。

也就是说无论我们将局部如何放大，它总是会出现与曲线整体相似的复杂性，我们称其为“统计自相似”。

2.“病态曲线”
随着数学和自然学科的发展，我们有意无意中创造或发现了一些“奇怪”的曲线，说它奇怪是因为这些曲线最大的特点就是“几何自相似”，局部不断重复整体的特性。

例如“柯赫雪花”“康托尔集”“皮亚诺曲线”
“魔鬼阶梯”“谢尔宾斯基三角”“门杰海绵”等。

3．病态函数
一些函数也存在着上面“自相似”的规律。

比如十年间的棉花价格波动曲线和一年间棉花价格波动曲线存在的曲线相似。

面对这些现实中存在的问题，我们需要一种新的几何方法来代替欧式几何来解决这些新的难题。

美国数学家B·Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。

此外，在湍流的研究。

自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。

因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何（2）。

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。

他在1975、1977和1982年先后用法
文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。

于是，分形开始由创立走向成熟。

这就是分形诞生的背景起源。

二、分形的概念
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。

（3）
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，把平面看成是二维的，把直线看成是一维的。

人们习惯于根据欧式几何原理，确定整数的维数，。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

下面我们给出关于分形的操作性定义：（4）
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

(ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或
者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

三、分形的应用
随着科学技术的发展以及人们对几何分形掌握的逐渐成熟，分形开始在科学，生活，人文，自然等很多方面中得到广泛的应用。

1.社会学应用
历史学家通过分形原理，发现了中国封建制度的组织特征。

这对我们研究历史形态和预测未来有一定的帮助和参考。

2.生命科学应用
生物学家通过对生物界和人体的研究，也得到了惊人的发现——生物界广泛存在的自相似性。

比如，肺和血管的构造，分形与生命本质特征密切相关，植物的构造与虫的数目，蛋白质的分形等等。

通过对小肠内壁绒毛的研究发现，它们呈现“自相似”状态，来达到接触面积最大来吸收营养物质的作用。

3.分形与世界观
看局部而知晓全体，反之亦然。

4.经济学应用
分形在经济学中有着广泛的应用，通过对一些宏观现象进行数理统计，我们发现这些曲线也存在这自相似现象。

这对于研究股市行情以及推断经济宏观变化有着重大的作用。

5.分形与艺术
分形与艺术也是息息相关的，尤其再绘画和音乐方面。

通过分形编辑的音乐和绘画有着很高的艺术价值。

5.其他应用
下面我们举几个具体的例子：
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。

受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。

一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

（5）
总之，分形的诞生是科学发展的又一里程碑，它将以独特的视角将向我们阐释自然和数学的魅力！
（1）《中国资料网》
（2）《物理学的100个基本问题》陈世杰著235页
（3）《分形学导论》陈忠著前言
（4）《分形几何》肯尼思·法尔科内著第10页
（5）《分形几何数学基础及其应用》肯尼思·法尔科内。