瑞安中学力学计算题专题训练（二）——弹簧相关2．某同学在设计连锁机关游戏中，设计了如图所示的起始触发装置．AB段是长度连续可调的竖直伸缩杆，BCD段是半径为R的四分之三圆弧弯杆，DE段是长度为2R 的水平杆，与AB杆稍稍错开．竖直杆外套有下端固定且劲度系数较大的轻质弹簧，在弹簧上端放置质量为m的套环．每次将弹簧的长度压缩至P 点后锁定，设PB的高度差为h，解除锁定后弹簧可将套环弹出．在触发器的右侧有多米诺骨牌，多米诺骨牌的最高点Q和P点等高，且与E的水平距离x=8R，已知弹簧锁定时的弹性势能E=9mgR，套环P与水平杆的动摩擦因数μ=0.5，与其他部分的摩擦不计，不计套环受到的空气阻力及解除锁定时的弹性势能损失，不考虑伸缩竖直杆粗细变化对套环的影响，重力加速度为g．求：（1）当h=3R时，套环到达杆的最高点C处时的速度大小v；（2）在（1）问中套环运动到最高点C时对杆作用力的大小和方向；（3）若h 可在R～6R连续可调，要使该套环恰能击中Q点，则h需调节为多长？3．如图所示，在光滑的水平平台上A 处有一质量 m ＝0.1 kg 的小球压缩轻质弹簧(小球与弹簧不拴连) 使其具有 E p ＝0.2 J 的弹性势能，平台的 B 端连接两个半径都为 R 且内壁都光滑的四分之一细圆管 BC 及细圆管CD ，圆管内径略大于小球直径，B 点和D 点都与水平面相切．在地面的 E 处有一小圆弧(图中未画出，小球在经过 E 处时的动能不损失) 且安装了一个可改变倾角的长斜面EF ，已知地面DE 长度为0.3 m 且与小球间的动摩擦因数μ1＝0.5，小球与可动斜面 EF 间的动摩擦因数μ2＝33；现静止释放小球，小球弹出后进入细圆管，运动到 B 点时对上管壁有 F N ＝1 N 的弹力．求：(1)细圆管的半径 R ；(2)小球经过 D 点时对管壁的压力大小；(3)当斜面 EF 与地面的倾角θ＝60°时，小球沿斜面上滑的最大长度．4. 小明同学在上海迪士尼乐园体验了超刺激的游戏项目“创极速光轮”后，对“过山车”类型的轨道运动充满了兴趣。

为此他自己利用器材设计拼接了一条轨道，如图所示，ABC 为一条水平轨道，BC 段长度为20cm ，斜直轨道CD 段长度15cm ，与水平面夹角θ=370，BC 段与CD 段在C 点平滑连接，竖直圆弧轨道DEF 的圆心为O 1，半径R 1=10cm ，圆轨道与CD 相切于D 点，E 为圆弧轨道的最高点，半径O 1F 水平，FG 段为竖直轨道，与1/4圆轨道GH 相切于G 点，圆形轨道GH 圆心为O 2，半径R 2=4cm ，G 、O 2、D 在同一水平线上，水平轨道HK 长度为40cm ，HK 与CD 轨道错开。

在AB 段的A 端固定一轻质弹簧，弹簧自然伸长时刚好位于B 端，现在B 端放置一个小环（可视为质点）但不栓接，小环的质量为m=0.01kg ，现推动小环压缩弹簧d 后释放，小环恰好能运动到D 点。

已知小环只在轨道BC 、CD 、HK 上受到摩擦力，动摩擦因数μ=0.5，弹簧弹性势能与弹簧弹性形变量的二次方成正比（即2P E kd ）。

不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g =10m/s 2.则：(1)求小环在B 点的速度大小v ；(2)某次实验，弹簧压缩量为2d ，求小环在E 处对轨道的压力；(3)小环能否停在HK 上？若能，求出弹簧压缩量的取值范围；若不能，请说明理由。

6.如图为某种鱼饵自动投放器的装置示意图,其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口C处切线水平,AB管内有原长为R、下端固定的轻质弹簧。

在弹簧上端放置一粒质量为m的鱼饵，解除锁定后弹簧可将鱼饵弹射出去。

投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，此时弹簧的弹性势能为6mgR(g为重力加速度)。

不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，已知地面比水面高出1.5R，求：(1)鱼饵到达管口C时的速度大小v1。

(2)鱼饵到达管口C时对管子的作用力大小和方向。

(3)若竖直细管的长度可以调节，圆弧弯道管BC可随竖直细管一起升降。

求鱼饵到达拓展1：如图所示，两半径均为R＝0.2m的光滑绝缘半圆轨道PM、QN在同—竖直面内放置，两半圆轨道刚好与绝缘水平面平滑相切于M、N点，P、Q分别为两半圆轨道的最高点。

水平面MF部分虚线方框内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，电场区域的水平宽度L MF＝0.2m。

带电荷量为q、质量为m＝1kg两相同带正电的两滑块A、B固定于水平面上，它们不在电场区域，但A靠近F，它们之间夹有一压缩的绝缘弹簧（不连接），释放A、B后，A进入电场时已脱离弹簧。

滑块与水平面间的动摩擦因数均为m＝0.5。

已知Eq＝2N，整个装置处于完全失重的宇宙飞船中。

（1）如果弹簧储存的弹性势能Ep＝1J，求自由释放A、B后B在Q点所受的弹力大小；（2）如果释放A、B后，要求二者只能在M、F间相碰，求弹簧储存的弹性势能Ep＇的取值范围。

拓展2：如图所示,装置的左边是足够长的光滑水平面,一轻质弹簧左端固定,右端连接着质量M=2kg 的小物块 A.装置的中间是水平传送带,它与左右两边的台面等高,并能平滑对接.传送带始终以u=2m/s的速率逆时针转动.装置的右边是一光滑的曲面,质量m=1kg的小物块B从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放.已知物块B与传送带之间的摩擦因数µ=0.2，l=1.0m。

设物块A、B中间发生的是对心弹性碰撞,第一次碰撞前物块A静止且处于平衡状态.取g=10m/s2。

(1)求物块B与物块A第一次碰撞前速度大小；(2)通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上；(3)如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第n次碰撞后的运动速度大小。

力学计算题专题训练（二）——弹簧相关（答案） B 点有: kL/2=mgsin 2.【解答】解：（1）当 h=3R 时，套环从P 点运动到C 点，根据机械能守恒定律有：21()2E mg h R mv =++，E=9mgR 解得：v =（2）在最高点C 时，对套环，根据牛顿第二定律有：mg+F C =2v m R解得：F C =9mg ，方向竖直向下；（3）套环恰能击中Q 点，平抛运动过程：212h R gt -= x=v E t 从P 到E ，根据能量守恒定律有：21()22E E mg h R mg R mv μ=-++ 联立解得：h=5R3.答案 (1)0.2 m (2)7 N (3)0.39 m解析 (1)小球由A 运动到B ，由动能定理得E p ＝12mv B 2得：v B ＝2 m/s由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得F N ＋mg ＝mv B 2R得：R ＝0.2 m(2)小球由B 运动到D ，由动能定理得mg ·2R ＝12mv D 2－12mv B 2在D 处，由牛顿第二定律得F D －mg ＝mv D 2R解得F D ＝7 N.由牛顿第三定律得，小球经过D 点时对管壁的压力大小为7 N ，(3)从B 开始，到运动至斜面上最高处，利用动能定理可得：mg ·2R －μ1mgs DE －μ2mgs cos θ－mgs sin θ＝0－12mv B 2代入数据解得s ＝9340m≈0.39 m. 4.【答案】（1）v ；（2）1.04N 方向竖直向上（3）小环不能停在HK 上【解析】（1）由B 到D ，根据动能定理：21cos sin 02AB CD CD mgl mgl mgl mv μμθθ---=-：，代入数据得：v =m/s ；（2）弹簧压缩量为d 时，2212P E kd mv ==， 弹簧压缩量为2d 时()221'2'2P E k d mv == 在B 的动能变为原来的4倍，速度'2v v =，设到E 点速度为v E ，轨道对环的弹力为F E ，根据动能定理22111cos sin (1cos )'22BC CD CD E mgl mgl mgl mgR mv mv μμθθθ----+=- 21'E v mg F m R +=联立解得：F E =1.04N 根据牛顿第三定律，小环在E 处对轨道的压力为1.04N ，方向竖直向上；（3）假设小环在E 点速度为零，在HK 上滑行的距离为x ，根据动能定理： 12(1cos )0mgR mgR mgx θμ++-=由动能定理可得:3sin 37cos37(7R 4)0o o mgR mg x R x μ--+-=所以：x=R;对物块P 从C 到E 的过程应用动能定理可得:物块在E 点时弹簧的弹性势能： (7)sin37cos37(7) 2.4o o p E mg R R mg R R mgR μ=---=(3)改变物块P 的质量,将P 推至E 点，从静止开始释放，弹簧的压缩量不变,故弹性势能不变;对物块从E 到D 的运动过程应用动能定理可得:; 251'[(7)sin 37(1cos37)]'cos37(7R R)'62o o o p D E m g R R R m g m v μ--++--= 对于D 点抛出到G 点：251(1cos37)o R R gt++=，75sin 3726o D R R v t -= F C =6mg ，那么对管子的作用力也等于6mg ，方向竖直向上。

(3)216(0.5)2C mgR mv mg h R R =+-+， 211.52R h R gt ++=，C x v t =，max max L x R =+联立上式得到：L R =+h=1.5R 时，max 9L R =拓展1：【答案】 （1）5N F N = (2) 0.2'0.4P J E J <<【解析】（1）设A 、B 分离后获得的速度大小分别为v 1、v 2由A 、B 组成的系统动量守恒有0＝mv 1－mv 2由机械能守恒有22121122P E mv mv =- 解得：v 1＝v 2＝1m/s 由于整个装置完全失重，B 在半圆轨道上做匀速圆周运动B 在Q 点，由牛顿第二定律有：25N v F m N R== （2）由（1）可知，释放A 、B 后，二者获得的初速度大小相等，设为v ＇。

若A 能通过电场，通过电场的最长时间为2'MF Am L t v =，B 运动到M 处需要的时间2'B R t v π=，有t Am <t B 。

所以，若A 、B 只能在M 、F 间相碰，则A 必须在相碰前就停在M 、F 间。